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2011年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）已知当时，与是等价无穷小，则（ ）
（A）k=1, c =4 （B） k=1,c =4 （C） k=3,c =4 （D） k=3,c =4
【答案】 （C）
【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式
【难易度】★★★
【详解】
解析：方法一：当时，
，故选择（C）.
方法二：当时，
故，选（C）.
（2）已知函数在x=0处可导，且=0，则= （ ）
（A） 2 （B） （C） （D） 0.
【答案】（B）
【考点】导数的概念
【难易度】★★
【详解】
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解析：
.
故应选（B）
（3）设是数列，则下列命题正确的是 （ ）
（A）若收敛，则收敛 （B）若收敛，则收敛
（C） 若收敛，则收敛 （D）若收敛，则收敛
【答案】（A）
【考点】级数的基本性质
【难易度】★★
【详解】
解析：由于级数是级数经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当收敛时，也收敛，故（A）正确.
（4）设，，，则的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（B）
【考点】定积分的基本性质
π/4
【难易度】★★
【详解】
解析：如图所示，因为时，
，因此
，故选（B）
（5）设为3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵，记
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，，则= （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（D）
【考点】矩阵的初等变换
【难易度】★★
【详解】
解析：由初等矩阵与初等变换的关系知，，
所以，故选（D）
（6）设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】（C）
【考点】线性方程组解的性质和解的结构；非齐次线性方程组的通解
【难易度】★★★
【详解】
解析：为的解，因为线性无关，故线性无关，为的解，故的通解为
所以应选（C）.
（7）设,为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）+
【答案】（D）
【考点】连续型随机变量概率密度
【难易度】★★
【详解】
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解析：
故选（D）.
（8）设总体X 服从参数为的泊松分布，为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量和，有 （ ）
（A）>,> （B）>,<
（C）<,> （D）<,<
【答案】（D）
【考点】随机变量函数的数学期望；随机变量的数学期望的性质
【难易度】★★★
【详解】
解析：由于是简单随机样本，，，
且相互独立，从而
，
故
又，
，
故选（D）.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
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（9） 设，则 .
【答案】
【考点】重要极限公式
【难易度】★★
【详解】
解析：
所以有.
（10） 设函数，则 .
【答案】
【考点】多元复合函数的求导法
【难易度】★★
【详解】
解析：两边取对数得
，
由一阶微分形式不变性，两边求微分得
将，，代入得
（11） 曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【考点】隐函数微分法
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【难易度】★★
【详解】
解析：两边对求导得，
所以在点处，
从而得到曲线在点处的切线方程为.
（12） 曲线，直线及轴所围成的