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情形一： 积分区域 D 关于坐标轴对称
定理 4 设二元函数 f ( x, y) 在平面区域 D 连续，且 D 关于 x 轴对称，则
1)当 f (x, y) f ( x, y) （即 f (x, y) 是关于 y 的奇函数）时，有
f ( x , y ) dxdy 0 .
D
2)当 f (x, y) f ( x, y) （即 f ( x, y) 是关于 y 的偶函数）时，有
f ( x , y ) dxdy 2 f ( x , y ) dxdy .
D D1
其中 D1 是由 x 轴分割 D 所得到的一半区域。
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例5 计算 I ( xy y )dxdy ，其中 D 为由 y 2x 与 x 2 围成的区域。
D
解：如图所示，积分区域 D 关于 x 轴对称，且
3
f ( x, y ) ( xy y ) f ( x , y)
即 f ( x, y) 是 关 于 y 的 奇 函 数 ， 由 定 理 1 有
3
f ( xy y ) dxdy 0 .
D
类似地，有：
定理 5 设二元函数 f ( x, y) 在平面区域 D 连续，且 D 关于 y 轴对称，则
2 f ( x , y ) dxdy ,当 f ( x, y ) f ( x , y).
D
f ( x, y )dxdy 2
D 0, 当 f ( x, y ) f ( x , y ).
其中 D2 是由 y 轴分割 D 所得到的一半区域。
2
例 6 计 算 I x y d, 其x d中 y D 为 由
D
y 2 x 2 ; y - 及x2 2 所围。y