文档介绍：纠错码近世代数
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内容
整数的基本概念
群
环
域
子群、正规子群和商群
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整数的基本概念
素数：一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，而不能被其它整数整除，这样的正整数叫做素数（或质数）
例如：2,3,5,7,11,17,19，…都是素数，共有∞ 多个
合数：一个正整数除了能被1和本身整除以外，还能被另外的正整数整除，这样的正整数叫做合数
例如：4,6,8,9…都是合数，也有∞ 多个
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整数的基本概念
倍数、因数：设a、b是整数，b≠0，如果有一个整数c，使得a=bc，则a叫做b的倍数，b叫做a的因数或约数
素因数:如果一个正整数a有一个因数b，而b又是素数，则b是a的素因数
例如：30=5×6,5是素数，所以5是30的素因数，
而6不是30的素因数
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整数的初等运算及性质
整数可做加、减、乘、除四则运算，对加、乘有如下性质
封闭性，对所有整数a、b、c、d有a+b=c,ab=d
结合，a+(b+c)=(a+b)+c, a·(b·c)=(a·b)·c
加法有恒等元0，即：0+a=a
加法有逆元，对任意整数a，存在逆元-a，使 (-a)+a=0
乘法消去律，对任意整数a、b、c，若c≠0，则由
ac=bc，可得a=b
乘法单位元1，即对任意整数a，有1·a=a
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整数的初等运算及性质
分配律，a·(b+c)=a·b+a·c
交换律，a+b=b+a，a·b=b·a
此外还满足以下三条逻辑规则：
自反律，a=a
对称律，若a=b，则b=a
传递律，若a=b，b=c，则a=c
欧几里德除法：设b是正整数，则任意正整数a>b皆可唯一表示成
a=qb+r，0≤r<b
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最大公约数与欧几里德算法
最大公约数：同时除尽a,b,…,l（不全为0）的正整数，称为a,b,…,l的公约数，其中的最大者称为最大公约数，用（ a,b,…,l ）或GCD（ a,b,…,l ）表示。若（ a,b,…,l ）=1，则称a,b,…,l互素。
定理：给定两整数a、b且a>b，若a=bq+r,则
（a，b）=（b，r）
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最大公约数与欧几里德算法
例子 求（150，42）=？
解：由欧几里德除法知：
150=3×42+24 0<24<42
42=1×24+18 0<18<24
24=1×18+6 0<6<18
18=3×6
由以上定理知：
(150, 42) = (42, 24) =(24, 18) = (18, 6) = 6
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最大公约数与欧几里德算法
欧几里德算法：给定任意正整数a、b，必有整数A、B使
（a，b）=Aa+Bb
例如，(150，42)=2·150+(-7)·42
最小公倍数：设a、b为任意两个正整数，若有一整数M使a|M、b|M，则称M是a、b的公倍数，其中最小的正公倍数称为最小公倍数，记为[a,b]或LCM(a,b)
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最小公倍数及性质
性质：
a、b、c若两两互素，则[a,b,c]=abc
a、b的最小公倍数除尽a、b的一切公倍数，若m是a、b的公倍数，则[a,b]|m,故m=q[a,b]
若a、b的最大公约数是(a,b),最小公倍数是[a,b]，则ab=[a,b](a,b)
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