文档介绍：第一章 解三角形
1、正弦定理：
在
C
中， a 、 b 、 c 分别为角
、
、 C 的对边， R 为
C 的外接圆的半径，则
有：
a
b
c
2R ．
sin
sin
sin C
2、正弦定理的变形公式：
①
a 2Rsin
， b
2Rsin
， c
2Rsin C ；
② sin
a
b
c
， sin
， sin C
；
2R
2R
2R
③
a : b : c
sin
:sin
:sin C ；
④
a
b
c
a
b
c
sin
sin
sin C sin
sin
．
sin C
注意： 正弦定理主要用来解决两类问题：
1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。
（一解、 两解、无解三中情况）
如：在三角形
ABC中，已知 a、b、 A（ A为锐角）求 B。具体的做法是：
数形结合思想
画出图：法一：把 a 扰着 C 点旋转，看所得轨迹以
AD有无交点：
C
当无交点则 B 无解、
当有一个交点则
B 有一解、
b
a
当有两个交点则
B 有两个解。
bsinA
A
D
法二：是算出
CD=bsinA, 看 a 的情况：
a<bsinA ，则 B 无解
bsinA<a ≤ b, 则 B有两解
a=bsinA 或 a>b 时， B 有一解
注：当 A 为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
S C
1
1
1
bc sin
ab sin C
ac sin
．
2
2
2
4、余弦定理：
在
C 中，有 a2
b2
c2
2bc cos ，
b2
a2
c2
2ac cos ，
c2 a2 b2 2ab cosC ．
5、余弦定理的推论：
cos
b2
c2
a2
2bc
，
cos
a2
c2
b2
2ac
，
cosC
a2
b2
c2
2ab
．
( 余弦定理主要解决的问题：
1、已知两边和夹角，求其余的量。
2、已知三边求角 )
6、如何判断三角形的形状：
设 a 、 b 、 c 是
C 的角
、
、 C 的对边，则：
①若 a2
b2
c2 ，则 C
90o ；
②若 a2
b2
c2 ，则 C
90o ；
③若 a2
b2
c2 ，则 C 90o ．
B
A
7、正余弦定理的综合应用 ：
如图所示：隔河看两目标 A、B,
但不能到达，在岸边选取相距
3 千米的
C、D两点，
O
O
O
C
D
并测得∠ ACB=75,
∠ BCD=45,
∠ADC=30,
O
∠ADB=45(A 、B、 C、 D在同一平面内 ) ，求两目标 A、 B 之间的距离。
附：三角形的五个“心” ；
重心：三角形三条中线交点 .
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 .
内心：三角形三内角的平分线相交于一点 .
垂心：三角形三边上的高相交于一点 .
练****题
一、选择题
1、在△ ABC中， a ＝10， B=60° ,C=45 °, 则 c 等于 （ B ）
A． 10 3 B． 10 3 1 C． 3 1 D． 10 3
2、三角形的两边分别为 5 和 3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为
A． 52
B．
C． 1