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带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号， 这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。 若带通信
号的上截止频率为 fH，下截止频率为fL，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率 fH，
可按照带通抽样定理确定抽样频率。
［定理3-2］带通抽样定理：一个频带限制在 （fL, fH）内的时间连续信号 x（t），信号带宽
B = fH - fL，令M = fH / B - N，这里N为不大于fH / B的最大正整数。如果抽样频 率fs满足条件
2 f 2 f
— （ -9）
m 1 m
则可以由抽样序列无失真的重建原始信号 x（t）。
对信号x（t）以频率fs抽样后，得到的采样信号 x（nTs）的频谱是x（t）的频谱经过周期延拓而
成，延拓周期为fs ,如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号 x（t），必
须选择合适的延拓周期 （也就是选择采样频率），使得位于（fL, fH ）和（-fH -fL）的频带分
量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑 （fL , fH ）的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在（fL,fH）频带的两边，有着两个延拓频谱分量： （-fH mfs^fL mfs）和（-fH （m 1）fs^fL （m 1）fs）。为了避免混叠，延拓后的 频带分量应满足
-fL mfs 乞 fL （ -10）
一 fH （m 1） fs 一 fH （ -11）
综合式（-10）和式（-11）并整理得到
2fH £ 2fL
- fs — （ -12）
m +1 m
这里m是大于等于零的一个正数。如果 m取零，则上述条件化为
fs-2fH （ -13）
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
2 f
m取得越大，则符合式（-12）的采样频率会越低。但是m有一个上限，因为fs乞三丄，
m
而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即 fs _2B。
因此
2fL 2fL fL
m L L L （ -14）
fs 2B B
由于N为不大于fH / B的最大正整数，因此不大于 fL /B的最大正整数为 N - 1，故有
OEm^N -1
综上所述，要无失真的恢复原始信号 x（t）,采样频率fs应满足
2 f 2 f
fs L， 0 辽 m ^ N -1 （ -15）
m 1 m
不得用于商业用途
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3-3带通采样信号的频谱
带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。 作为一个特例，我们考虑 低通抽样定理，则要求抽样频率
H =NB（ N 1 ）的情况，即上截止频率为带宽的整数倍。若按 fs X2NB，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波 根据带通抽样，若将抽样频率取为 fs = 2B
采用带通滤波器仍可无失
器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。
（m值取为N -1），抽样后