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立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
1． 空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.
(3)求二面角的大小
1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．
2． 点面距的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到
平面α的距离d＝.
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
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(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( × )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × )
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( × )
(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π]． ( √ )
(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°. ( √ )
(6)若二面角α－a－β的两个半平面α、β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ. ( × )
2． 已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵m⊥α，n⊥β，
∴异面直线m，n所成的角的补角与二面角α－l－β互补．
又∵异面直线所成角的范围为(0，]，
∴m，n所成的角为.
3． 在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于
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( )
A．4 B．2 C．3 D．1
答案 B
解析 P点到平面OAB的距离为
d＝＝＝2，故选B.
4． 若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为_________．
答案
解析 ∵n·a＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3，
|a|＝＝，
∴cos〈n，a〉＝＝＝－.
又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.
5． P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．
答案 90°
解析 不妨设PM＝a，PN＝b，如图，
作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，
∵∠EPM＝∠FPN＝45°，
∴PE＝a，PF＝b，
∴·＝(－)·(－)
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＝·－·－·＋·
＝abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b
＝－－＋＝0，
∴⊥，
∴二面角α－AB－β的大小为90°.
题型一 求异面直线所成的角
例1 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
思维启迪 本题可以通过建立空间直角坐标系，利用向量、所成的角来求．
答案 B
解析 建立坐标系如图，
则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．
＝(－1,0,2)，＝(－1,2,1)，
cos〈，〉＝＝.
所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.
思维升华 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是
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θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.
已知直四棱柱ABCD