文档介绍：第二章 基本图形分析法
第一节 基本图形分析法概述
教育要追求思维过程的培养、训练和形成，而要讲清楚每一个问题的思维
过程，最重要的前提就是要以具有科学的、能揭示规律性的思维方法作为基础
理论。对平面几何这门学科而言，基本图形分析法就是这样一种能揭示思维方
法规律性的分析方法。
长期以来，平面几何是一门教师感到难教，学生感到难学的学科，至今仍
是制约着教育质量提高和学生成才的“瓶颈”。现在社会上流行“不能输在起跑
线上”，但没有输在起跑线上而倒在几何线上的学生何止成千上万。
那么，几何教和学之难到底难在哪里？实际上就难在三个字，即“规律性”
上。在教学中，老师们为什么不断地讲：“怎样想的？主要是多做题目，积累经
验，到时候自然会想”。“添辅助线有常法而无定法”，“添辅助线就是拿到一道
题目，先添一条试试看，不行再添一套试试看，多试几次总会成功的”，根本的
原因就是没有办法掌握几何问题分析方法的规律性和添加辅助线的规律性。事
实上，老师所作的这样一种回答，根本无法解决学生在学****过程中出现的困惑。
学生在学****几何的过程中，最迫切地想要知道的就是几何问题思考方法、分析
方法的规律性，最迫切地想要知道的就是几何问题中添加的每一条辅助线是怎
样想出来的。由于传统的几何教学无法对学生的这些期待给出直接的、明确的、
准确的、科学的回答，所以笼罩在学生几何学****过程中的畏惧心理难以得到根
本上的消除，这也就是几何难教、难学之根本所在。
平面几何是研究平面图形的性质的数学学科领域，图形是几何研究的对象，
所以任何离开对图形、图形性质的研究的分析方法，要揭示几何问题思考方法、
分析方法的规律性都是十分困难的，在教学中要取得成功也是十分困难的，当
然这里所指的成功是对大多数学生来说的成功，而不是仅对少数、对特别优秀
的学生来说的成功。
任何离开对图形、图形性质的研究的分析方法，都不可能在几何教学中取
得成功，这实际上包含着对传统几何分析方法的否定。现在我们许多老师在教
学中实际采用的分析方法大多还是传统的证题术，这种方法的经典语言就是“我
们怎么证明两条线段相等呢？要证明两条线段相等，可以应用全等三角形；可
以证明这两条线段都和第三条线段相等；可以应用等腰三角形；可以应用平行
四边形；可以应用正方形；可以应用比例性质等等，等等。”然而，在实际教学
中，没有一位老师是能够列举完的，一般都是列举了几条就结束了，那为什么
列举到这里就刹车了呢？显然老师无法讲清楚。
从思维的角度来看，这里应用的是列举的方法，就是属于扩散思维的范畴，
于是首先出现的问题就是在具体教学活动中，尤其是在课堂教学过程中，无论
哪一位老师都不可能进行完美的、毫无遗漏的列举，所以这样的方法在理论上
是存在缺陷的。另外，即使有老师进行了完美的、毫无遗漏的列举，将所有的
可能性都列举了出来，但由于其中的相当一部分可能性对这个具体问题的解决
来说，又是毫无价值的，所以许多老师也会感到没有必要去作这样详尽的列举，
因为这也确实会包含许多无效的思维和努力。然而实质性的问题还不仅是在这
里，关键的问题是当你列举出了这样许多方法或可能性以后，对这道具体的题
目来说，你是怎样作出选择的？是根据什么来作出这样的选择的？
从思维形式上讲，前面的列举是属于扩散思维，而后面的比较和作出选择
是属于集中思维。当列举出这么多的可能性以后，进行集中思维就需要对这些
可能性进行逐一的比较，才能最后作出选择，但在实际教学工作中，这几乎是
不可能做到的。而在没有进行充分的、完整的比较之前，就作出的选择，显然
就会面临讲不清楚道理的困惑，或者也就是只能用“经验”来作出选择。
从上述讨论中，我们可以发现传统的几何分析方法也是在对几何问题进行
分类讨论，然而，分类也有科学的分类和经验性的分类。分类，就是将一个集
合分成若干个真子集，那么，科学的分类必须满足两个条件，就是：所有的真
子集的并集应该是全集；所有真子集的两两的交集应该是空集。在传统的几何
证明方法进行的分类中，就以证明两条线段相等的问题为例，首先所有的几何
问题就是一个集合，就是一个全集，而全等三角形、两条线段都和第三条线段
相等、等腰三角形、平行四边形、正方形、比例性质等等，就是进行分类后得
到的一个一个真子集。那么，首先要满足的就是所有的真子集的并集应该是