文档介绍：填空(3X8=24分)
1.
设 H = (3,-1-2},
b = {1,2,-1},则 cos(a, b)=
V21IT
2.
同时垂直于向量a = {2,2,1}, b = {4,5,3}的单位向量为
2 2. 12 2c'cj顼 1 3'3' 3
= 2mx, z = m-x ( m为常数)在点(x0,y0,z0)处的切线方程为
-4，r> 2m -1
4.
-1
lim =_0O,yK0,i)2x + y
5.
函数〃 =在点(1-1,2)处的梯度为2亍—4 j + E
6.
乙为圆周 x2+y2=a2 (q>0),则虹2+y% = 22
7.
幕级数习(-1)” 土的收敛半径为 1Z? 〃 ——
8.
微分方程y 〃 = /的通解为『+ Gx + G，(G，C 2为任意常数)•
二、 计算下列函数的导数或微分(2X6=12分)
1. z = arctan —, u = x + y,v = x- y , 求dz。
v
念力』 (dz du dz , (dz du dz 加),
\8u dx dv dxJ dy dv dy J
(v u \ j ( v
_ 2 1 ~2~~2 故 + 2 . ~2 2~~2
\ U + V U + V J \ U + V U + V J
y , x ,
= -^—^dx+^—^dyx +y x +y
= lnE,求玄和色。z y dx dy
解：令F(x,y,z) =--ln —,则 z y
i 2
Z7 1 Z7 y
F、=_，% = z
=L，f,
y
5z _ Fx
dz
F,
dx F x + z
dy Fz y(x + z)
计算下列函数的积分（4X7=28分）
1.
JJxyJcr ,其中 D :x2 + y2 <a2(a> 0)第一象限部分。
ft?： Z)={(x, y)IO<x<6z, 0<y<
2.
3.
4.
dx
I 2 2
a —x
xydy =
、-x2
+疽+ I? V ,其中。是由球面J +
dx =S £x(
2 :a -x
y2 + z2^z所围的闭区域。
解：x2 + y2 + z2 = z x2 + y2 + z
x = rsin^?cos 6, 0 < r < cos
作球坐标变换1
JI y = rsin^sin^, 0<(p<—,
z = r cos (p, 0 < ^ < 17i.
+ y2 + z2dV = r2 sin(pdrd(pd0Q
眼 U QOS。 Q
o d0^d(p^ r3
. (cos °)4 n
sin。——-——d(p=—.
『"2公+ xdy ,其中乙为X = ±1, y = ±1所围成的矩形域边界线的正向。
」-dy = 4.（也可用格林公式）
提示：[。”之必:+况^ =[]配尤+[dy +「edx +JJxydydz + yzdzdx + xzdxdy，其中 Z 为平面 x = 0,y = 0,z = 0,x+y + z = 1 所围成的空 £
间闭区域的整个边界曲面的外侧。
Jf£
提示：由积分表达式及£关于的轮换对称性，知
x