文档介绍：第四次作业：
一、计算：
1、判断同余式F三43&n»d593)是否有解？
(答：无解。方法参照题2)
2、判断同余式x2 ^365(irodl847)是否有解？
解我们容易知道1847是素数，所以只需求的值. (1847丿
如果其值是1,则所给的同余式有解，否则无解.
因为365 =5x73,所以
〔365]〔 5 丫 73 ]
11847丿 11847丿11847丿
再5 三 l(mod4),73 = l(mod4),所以
所以,
365)1847丿
=1.
于是所给的同余式有解.
3、11的平方剩余与平方非剩余.
解因为^—^ = 5,所以平方剩余与平方非剩余各有5个.
2
又因为
52 = 3 I2 三 1, 22 =4, 32 =9, 42 =5, i
所以，1, 3, 4, 5, ，2, 6, 7, 8, 10是素数11 的平方非剩余.
4、计算騒，其中563是素数
即429是563的平方剩余.
5、计算严］
(443丿
(计算方法参照题4)
二、证明题：
1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 证明因为(“ + 1)3 —z? =3/+3“ + 1, 所以只需证明3/ +3« + lT(mod5).
而我们知道模5的完全剩余系由-2, -1, 0, 1, 2构成，
所以这只需将n=0, ±1, ±2代入3/72 +3/7 +1分别得值1, 7, 1, 19, 7.
对于模5, 3/? +3/7 + 1的值1, 7, 1, 19, 7只与1, 2, 4等同余，
所以 3/72 + 3/7 + 1T (mod5)
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。
2、证明形如4”-1的整数不能写成两个平方数的和.
证明设"是正数并且n = -l(mod4),
如果
2 ?
Yi — x + y ,
则因为对于模4, x, y只与0, 1, 2,-1等同余，
所以%2,J2只能与0, 1同余，
所以
%2 + y~ = 0,l,2(mod4),
而这与n = -l(mod4)的假设不符,
即定理的结论成立.
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积，仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积，也是一个两个平方数和的数.(11分)
证明(1)设 m- a1 +b2,则显然 r2m = (ra)2 + (rZ?)2.
(2)如果n = c2 +d2,那么
mn=(a2 +Z?2)(c2 +t/2) = a2c2 +a1d2 +b2c2 +b2d2
二(q'c? +戾〃2