文档介绍：正弦定理证明
正弦定理证明
正弦定理证明
正弦定理的证明解读
克拉玛依市高级中学　曾艳
一、正弦定理的几种证明方法
a
b
D
A
B
C

（1）当AＢＣ是锐角三角形时,设边AＢ上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有,。
由此,得 ,同理可得 ,　　　　　　　　　　
故有　。从而这个结论在锐角三角形中成立．
A
B
C
D
b
a
（2)当ＡＢＣ是钝角三角形时,过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点Ｄ,根据锐角三角函数的定义,有, 。由此，得，同理可得
故有。
由（1)（２)可知，在AＢC中，　成立。
从而得到:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等,即。
1’用知识的最近生长点来证明:
实际应用问题中，我们常遇到问题:
已知点A,点Ｂ之间的距|AＢ|,可测量角A与角Ｂ,
需要定位点C，即:
在如图△ＡBＣ中，已知角A,角B,|AB|=ｃ,
求边AC的长b
正弦定理证明
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正弦定理证明
解：过Ｃ作CＤ^ＡB交ＡB于D，则

推论:
同理可证:
2。利用三角形面积证明正弦定理
D
C
B
A
已知△ABＣ,设ＢC＝ａ， CＡ=b，AＢ＝ｃ，作ＡＤ⊥BC，垂足为Ｄ。则Rｔ△AＤB中,　，∴ＡD=ＡＢ·ｓｉnB=ｃsinB.
∴S△ＡBC=。同理,可证 S△ＡBC=.
∴　Ｓ△ＡBC=.∴ａbsinｃ=ｂｃsinＡ=ａcｓiｎB,
在等式两端同除以ＡBＣ,可得.即。
３．向量法证明正弦定理
(１)△ABＣ为锐角三角形,过点Ａ作单位向量ｊ垂直于，则j与的夹角为9０°-A，ｊ与的夹角为９０°－C。由向量的加法原则可得，
为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量ｊ的数量积运算,得到　　
由分配律可得。 　　　　　　　 B　　　　　　　　　　　
C
∴|j|Ｃｏs90°+｜j|Cｏs（９0°-Ｃ）=｜ｊ｜Cｏs（90°—A)。　　　　　j　　　　　　
正弦定理证明
正弦定理证明
正弦定理证明
∴aｓiｎC=csiｎA。∴．　　　　　　　　Ａ　　　　　　　　
另外,过点C作与垂直的单位向量ｊ,则ｊ与的夹角为9０°+Ｃ,j与的夹角为9０°＋B,可得。
（此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与的夹角为9０°-C，ｊ与的夹角为９０°—Ｂ)∴.
C
Ａ
（2）△ABC为钝角三角形，不妨设Ａ>90°，过点A作与垂直的单位向量j,则ｊ与的夹角为A—90°，ｊ与的夹角为９0°-Ｃ。
由，得j·+j·=j·,　　　　j
Ａ
Ｂ
即a·Cos(90°－C)=c·Cos（Ａ—90°),∴aｓiｎC＝csｉnA。∴
另外,过点Ｃ作与垂直的单位向量ｊ,则ｊ与的夹角为９0°+C