复变函数与积分变换课后习题答案.doc

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复变函数与积分变换
〔修订版〕
主编：马柏林
〔复旦大学出版社〕
——课后****题答案
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复变函数与积分变换
〔修订版〕
主编：马柏林
〔复旦大学出版社〕
——课后****题答案
页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！<br****题一
1. 用复数的代数形式a+ib表示以下复数
.
①解
②解：
③解：
④解：
(z=x+iy)
R);
： ∵设z=x+iy
那么 ∴, ．
②解： 设z=x+iy
∵ ∴, ．
③解： ∵

∴, ．
④解： ∵
∴, ．
⑤解： ∵．
∴当时，，；
当时，，．

①解：．

②解：
③解：．

④解：

4、证明：当且仅当时，z才是实数．
证明：假设，设，
那么有　，从而有，即y=0
∴z=x为实数．
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假设z=x，x∈&#161;，那么．
∴．
命题成立．
5、设z,w∈C，证明：
证明∵


∴．
6、设z,w∈C，证明以下不等式．



并给出最后一个等式的几何解释．
证明：在上面第五题的证明已经证明了．
下面证．
∵
．从而得证．
∴
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．

①解：
其中．
②解：其中．

③解：
④解：.
∴
⑤解：
解：∵．
∴
：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.
⑴i的三次根．
解：
∴．　

⑵-1的三次根
解：
∴


⑶的平方根．
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解：
∴
∴
．
. 证明：
证明：∵　∴，即．
∴
又∵n≥2． ∴z≠1
从而

,
.
解：如下图．
因为={z: =0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，那么CA⊥．过C作直线平行，那么有∠BCD=β，∠ACB=90&#176;
故α-β=90&#176;
所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90&#176;．
，并作出草图.
解：
(1)、argz=π．表示负实轴．
(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=．
(3)、1&lt;|z+i|&lt;2
解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
〔4〕、Re(z)&gt;Imz．
解：表示直线y=x的右下半平面
5、Imz&gt;1，且|z|&lt;2．
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解：表示圆盘内的一弓形域。<br****题二
1. 求映射下圆周的像.
解：设那么

因为,所以
所以 ,

所以即，表示椭圆.
2. 在映射下，以下z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设或.
〔1〕； 〔2〕;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数)
解：设
所以
(1) 记，那么映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即
(2) 记，那么映成了w平面上扇形域，即
(3) 记，那么将直线x=a映成了即是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b映成了
即是以原点为焦点，张口向右抛物线如下图.
3. 求以下极限.
(1) ;
解：令,那么.
于是.
(2) ;
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解：设z=x+yi，那么有
显然当取不同的值时f(z)的极限不同
所以极限不存在.
〔3〕 ；
解：=.
〔4〕 .
解：因为
所以.
4. 讨论以下函数的连续性：
(1)
解：因为,
假设令y=kx,那么,
因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=