文档介绍：椭圆的简单几何性质典型例题
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当A?2，0?为长轴端点时，a?2，b?1，x2椭圆的标准方程为：4y211；（2）当A?2，0?为短轴端点时，b?2，a?4，x2椭圆的标准方程为：4y2161；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：?2c?a2c332?13∴3c2?a2，∴e?3．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．典型例题三
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为AB中点，，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为xa22y?1，2
1 / 20x?y?1?0?2由?x2，得?1?a?x2?2a2x?0，22?y?1?a∴xM?x1?x22yMxM21?aa22，yM?1?xM?11?a2，kOM?1a214，∴a2?4，∴x24y?1为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四
例4椭圆x225y929?1上不同三点A?x1，y1?，B?4?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的5?距离成等差数列．（1）求证x1?x2?8；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k． 证明：（1）由椭圆方程知a?5，b?3，c?4． 由圆锥曲线的统一定义知：AFa2ca，cx1∴ AF?a?ex1?5?同理 CF?5?4545x1．x2．95∵ AF?CF?2BF，且BF?4，∴ ?5?4???18， x1???5?x2??5??55?即 x1?x2?8．（2）因为线段AC的中点为?41y?y2?，所以它的垂直平分线方程为 2?
2 / 20y?y1?y22x1?x2y1?y2x?4?．又∵点T在x轴上，设其坐标为?x0，0?，代入上式，得 x0?4?y1?y2222?x1?x2?
又∵点A?x1，y1?，B?x2，y2?都在椭圆上， ∴ y12? y2?22925925225?x?2125?x?22∴ y1?y2??925x1?x2??x1?x2?．将此式代入①，并利用x1?x2?8的结论得 x0?4??93625
∴ kBT
05??．4?x04典型例题五
例5 已知椭圆x224y31，F1、F2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是MF1与MF2的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M存在，设M?x1，y1?，由已知条件得a?2，b?3，∴c?1，e?12．∵左准线l的方程是x??4， ∴MN?4?x1． 又由焦半径公式知：
3 / 20MF1?a?ex1?2?MF2?a?ex1?2?1212x1， x1．∵MN2MF1?MF2，2∴?x1?4???2?11???x1??2?x1?． 2??2?整理得5x12?32x1?48?0． 解之得x1??4或x1??125． ①另一方面?2?x1?2． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设M2cos?3sin?存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六
例6 已知椭圆x11?2y?1，求过点P??且被P平分的弦所在的直线方程． 2?22?2分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k． 解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为y?整理得11??k?x??．代入椭圆方程，并22??1?2k?x222k?2kx?2212k?k?2320．由韦达定理得x1?x2?2k?2k1?2k2．12∵P是弦中点，∴x1?x2?1．故得k??所以所求直线方程为2x?4y?3?0．．
4 / 20分析二：设弦两端坐标为?x1，y1?、?x2，y2?，列关于x1、x2、y1、y2的方程组，从而求斜率：y1?y2x1?x2．解法二：设过P??的