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考试真题（2）答案:
一、 填空题（每题5分，共20分）
1 臾
N (x, y) :x
1. 3,否
=<Kx）
3 •无穷多个
4 . y = G C2s in x xs in x cosx
二、 单项 选择题（每题5分，共20分）
1 . C 2 .B 3. A 4. B
8分，共40分）
三、 求下列方程（或方程组）的通解（每题
1. x3ex xy2ex x y dx 7x _ y dy 二 0
解 因为 —=2xyex 1，兰 ，所以不是恰当方程。
r ' ,1-..
:y :x
将方程改写为
xex x2 y2 dx xdx ydy ydx -xdy 二 0 ,
# / 6
# / 6
通过观察可知它有积分因子 口二—1
x
2，方程两端同乘此积分因子，化成恰当方程
y
# / 6
# / 6
xekx 2
1 d(x2 y2)
x2 y2
"ex+M2
y2
所以原方程的通积分为
x
xe
x
-e
切X2 y2耐忙。
# / 6
5 x 2x 3x 4x 5x
2. y _2y y=(1x)e e e e e
解 令y二uex，则
t t X , X 0 w X O ? X , X
y u e ue , y = u e 2u e ue ,
代入原方程，得
u“T x5 ex • e2x - e3x - e4x
积分两次后，得
1 2 1 7 x 1 2x 1 3x 1 4x _ —
u x2 x7 e e2 e3 e4 C1x C2,
2 42 4 9 16
代回原变量，得原方程的通解
y = —x2 — x7 ex - e2x -e3x — e4x C1x C2 ex。
2 42 4 9 16
C 2 c '丄 2 "2 ・4 c
3. y - 2xyy x y - y 0
解由于
2 2 卜2 卜4 2卜4 2 2
y -2xyy x y - y (y-xy) - y (y-xy-y )(y-xy y ) = 0
I
所以解原方程等价于解下面两个方程
卜 1-2 2
y _ xy - y 0 与 y_xy y 0。
将方程变形为克莱罗方程
卜. 卜2 - 2
y=xy y ， y=xy—y ，
# / 6
2 2
2 2 X X
因而，它们的通解分别是 y =xG
-C；与y=xC2-C；，奇解分别是y 与y二
4 4
4.
x 二 Ax A =
■o
1
J0 1
1〕
-1
1
'Xi]
X =
X2
解它的特征方程为
—
1
1
1
1-x
-1
0
1
1 -九
. 2
二-入1 -入 0，特征根为
/3J
解线性代数方程组
■0
1
J0
求得属于-^0特征向量为
■21
-1
,所以对
应方程组的一个解为
Xi(t)
0t
=e
，即