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1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分■把答案填在题中横线上)
(1) 当x= 寸，函数y = x 2取得极小值.
(2) 由曲线y =ln x与两直线y = e • 1 - x及y = 0所围成的平面图形的面积是
I广
X =1
(3) 与两直线y = -1 +t及都平行且过原点的平面方程为
1 1 1
.z = 2+t
(5)已知三维向量空间的基底为
⑷设L为取正向的圆周x +y2=9，则曲线积分](2xy -2y)dx+(x2 -4x)dy =
(A) f (x)的导数存在,且f (a) =0
(B) f (x)取得极大值
(C) f(x)取得极小值
(D) f (x)的导数不存在
(2)设f (x)为已知连续函数
s
,1 =t r f (tx)dx,其中 t 0,s . 0,则 I 的值
(A)依赖于s和t
(C)依赖于t、x,不依赖于s
(3)设常数k 0,则级数(-1)"雪
nd n
(B)依赖于s、t和x
(D)依赖于s,不依赖于t
(A)发散
(C)条件收敛
(B)绝对收敛
(D)散敛性与k的取值有关
⑷设A为n阶方阵，且A的行列式| A卜a = 0,而A*是A的伴随矩阵，则
| A * |等于
(A)a
(B)-
a
(C)a
(D)an
六、(本题满分10分)
qQ
求幕级数J
n z4
1
I?
xnj
的收敛域，并求其和函数
七、(本题满分10分) 求曲面积分
I = x(8y 1)dydz 2(1 - y2)dzdx-4yzdxdy Z
其中'•是由曲线
f (x)=
d 1空y乞3
绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向
x = 0
1T
量与y轴正向的夹角恒大于一•
2
八、(本题满分10分)
设函数f (x)在闭区间［0,1］上可微，对于［0,1］上的每一个x,函数f(x)的值都
在开区间(0,1)内，且f(x)=1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)二x.
九、(本题满分8分)
问a,b为何值时，现线性方程组
L % 十 X2 + X3 + X4 = 0 x2 +2x3 +2& =1
* -x2+(a-3)x3-2x4 =b
\ 3xi ■' 2 x2 " ■ X3 ■' ax^ = _ 1
有唯一解，无解,有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解
十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分■把答案填在题中横线上)
(1) 设在一次实验中，事件A发生的概率为p,现进行n次独立实验，则A至少发
生一次的概率为 。而事件 A至多发生一次的概率为 .
(2) 有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个
,再从第2个箱子中取 出1个球,此球是白球的概率为 已知上述从第2个箱子中取出的球
是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为 .
1 2
(3) 已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)= _^x '2xJ,则X的数学期
寸兀
望为 ,X的方差为 .
十、(本题满分6分)
设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为
fx(x)
1 0乞x岂1
0其它
y 0
y空0
# / 99
# / 99
求Z =2X Y的概率密度函数•
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)
(x-3)n
n3n
的收敛域.
□0
(1) 求幕级数7
nm
2
⑵设 f(x) =ex , f[ (x)] =1-x且(x) 一0,求(x)及其定义域.
(3) 设为曲面x2 y2 ■ z2 =1的外侧,计算曲面积分
I x3dydz y3dzdx z'dxdy.
二、填空题(本题共4小题,每小题3分，满分12分■把答案填在题中横线上)
(1) 若 舗)=1计£+丄),则「(t) = .
Y x
X3」
(2) 设 f (x)连续且 0 f (t)dt = x,则 f ⑺= .
(3 )设周期为2的周期函数,它在区间(-1,1]上定义为f(x) = 22 「“X-0,则的 x2 OcxG
傅里叶(Fourier )级数在x=1处收敛于 .
⑷设4阶矩阵A =[ a, y, Y3, 丫4】,B =[ g