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子集与真子集（北京****题集）（教师版）
一．选择题（共3小题）
1．（2012秋•门头沟区校级期中）若，则的子集个数为
A．8 B．4 C．2 D．无数个
2．（2010秋•东城区期末）若集合，，则
A． B． C． D．
3．（2009•西城区二模）已知集合、满足，那么下列各式中一定成立的是
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
4．（2019秋•海淀区校级期中）集合，2，的非空子集共有 个．
5．（2016秋•海淀区校级月考）集合，2，的所有子集共有 个，从中任意选出2个不同的子集和，若且，则不同的选法共有 种．
6．（2015•东城区一模）已知集合，，，若，则实数的值为 ．
7．（2015秋•海淀区校级期中）集合，的所有子集是：，， ， ．
三．解答题（共5小题）
8．（2017•通州区一模）设集合，2，3，，，2，3，，若非空集合满足：
①；
②（A）（A）（其中（A）表示集合中元素的个数，（A）表示集合中的最小元素），则称为的一个好子集．记为的所有好子集的个数．
例如，表示集合，2，3，4，的所有好子集的个数．
（Ⅰ）写出集合，2，3，的所有好子集；
（Ⅱ）若是的一个好子集，且中至少有3个元素，求证：；
（Ⅲ）请猜想，，之间的关系，并证明你的猜想．
9．（2016秋•石景山区期末）集合的若干个子集的集合称为集合的一个子集族．对于集合，2，的一个子集族满足如下条件：若，，则，则称子集族是“向下封闭”的．
（Ⅰ）写出一个含有集合，的“向下封闭”的子集族并计算此时的值（其中表示集合中元素的个数，约定
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；表示对子集族中所有成员求和）；
（Ⅱ）是集合，2，的任一“向下封闭的”子集族，对，记，（其中表示最大值），
（ⅰ）求（2）；
（ⅱ）若是偶数，求．
10．（2011•朝阳区二模）对于整数，，存在唯一一对整数和，使得，．特别地，当时，称能整除，记作，已知，2，3，，．
（Ⅰ）存在，使得，试求，的值；
（Ⅱ）若，（B）（B）指集合 中的元素的个数），且存在，，，，则称为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集” 和一个含有元素8的非“谐和集” ，并求最大的，使含的集合有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．
11．（2010•崇文区二模）设集合，2，3，4，5，，对于，，记且，由所有组成的集合设为，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设集合，，对任意，，试求；
（Ⅲ）设，，试求的概率．
12．（2013秋•东城区期末）设集合，2，，若是的子集，把中所有元素的和称为的“容量”（规定空集的容量为，若的容量为奇（偶数，则称为的奇（偶子集．
（Ⅰ） 写出的所有奇子集；
（Ⅱ） 求证：的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．
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子集与真子集（北京****题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2012秋•门头沟区校级期中）若，则的子集个数为
A．8 B．4 C．2 D．无数个
【分析】根据集合中属于整数集，由集合中的范围，列举出集合中的元素，得到集合中元素的个数，根据元素的个数即可求出集合子集的个数．
【解答】解：由集合中的，列举出集合中的元素为：，0，1，
所以集合，0，，
则集合的子集有：，，，，，，，，，，1，，共8个．
故选：．
【点评】此题考查学生掌握当集合中元素有个时，集合子集有个，是一道基础题．
2．（2010秋•东城区期末）若集合，，则
A． B． C． D．
【分析】根据题意，对于，求出的解集，化为区间的形式，进而与进行集合之间的运算：求交集，求并集，求补集等，最后与选项进行比较，即可得答案．
【解答】解：对有，，
对于，有；
则
所以正确，
故选：．
【点评】本题考查集合间包含关系的判断，要先解不等式，再进行集合关系的判断，注意端点值的关系．
3．（2009•西城区二模）已知集合、满足，那么下列各式中一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】分析题意，等价于，即是的子集，分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，若，必有，
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分析选项可得：、包括与两种情况，错误；
、与题意的关系不符，错误；
、等价于，正确；
、等价于，错误；
故选：．
【点评】本题考查集合间的相互关系，注意从题意中发现集合间的相互关系．
二．填空题（共4小题）
4．（2019秋•海淀区校级期中）集合，2，的非空子集共有 7 个．
【分析】对于有限集合，我们有