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导数知识要点
1 .导数(导函数的简称)的定义：设X0是函数yf(x)定义域的一点，如果自变 量X在X。
处有增量X，贝U函数值y也引起相应的增量V f (X。 x) f(Xo);比值
±竺―廿*称为函数yf(X)在点xo到X。 X之间的平均变化率；如果极
X X
限limjjim竺。一…存在，则称函数yf(x)在点X。处可导，并把这个 xOX xO X
极限叫做yf(x)在x。处的导数，记作f，(x。)或y，一，即
、-y..f (Xo X) f(Xo)
f (xo) = lim lim
xOX xO x
注：①X是增量，我们也称为改变量”因为X可正，可负，但不为零•
②已知函数y f(x)定义域为A，v f(x)的定义域为B，则A与B关系为A B.
2,函数y f (x)在点x。处连续与点x。处可导的关系：
⑴函数y f (x)在点xo处连续是y f(x)在点x。处可导的必要不充分条件
可以证明，如果y f(x)在点X。处可导，那么y f(X)点X。处连续.
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事实上，令x x。 x，则x X。相当于x o.
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于是 lim f (x) lim f (x0
x)lim[f(x xo) f(Xo) f(Xo)]
X Xo
f(Xo
xO
X) f(Xo)
X
xO
X f(Xo)]
lim Kx。 x) f(x。)nm E
XO X XO Am/X。)
f (Xo) O f(Xo)
f (Xo).
⑵如果yf(x)点x。处连续，那么yf(x)在点x。处可导，是不成立的
例：f(x)冈在点X。。处连续，但在点X。。处不可导，因为一 LF，当X〉
X X
。时，/ 1 ;当X V。时，.y 1，故lim y不存在. X x xo X
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数•
：
函数y f (x)在点x。处的导数的几何意义就是曲线 y f(x)在点(x。, f(x))处的切线
的斜率，也就是说，曲线yf(x)在点P(x°,f(x))处的切线的斜率是岭。)，切线
方程为 yy0f(x)(xXo).
n、' n 1 z
、
(x ) nx ( n R)
(cosx) sin x
1
(log ax) — log ae x
fn (x) y fl (x) f2(X).. ’n(x)
CV( c为常数)
4、几种常见的函数导数：
。。(C为常数)
(sin x) cosx
(In x), 1
x
X ' X
(e) e
：
(u v) u v y fi (x) f2 (x)..
/ v 11111
(UV) VU V u (cv) C V cv
11
II VU V U 7 c、
2 (v 0)
V V
注：①U,v必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们 的和、差、积、商不一定不可导.
例如：设f(x) 2sinx —， g(x) cosx —，则f(x),g(x)在x 0处均不可导，但它们
X X
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和 f (x) g(x) sinx cosx 在 xO 处均可导.
.复合函数的求导法则：£父(凶)下(11卜仅)或因*11女
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
.函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)〉。，则
yf(x)为增函数；如果f(x) V0,则yf(x)为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数y f(x)在区间I内恒有f'(x)=O,则v f(x)为常数.
注：①f(x) 0是f (X)递增的充分条件，但不是必要条件，如丫2*3在(，)上
并不是都有f(x)0,有一个点例外即x=o时f(x) =0,同样£仅)0是£a)递减的充分非 必要条件.
②一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)，那么f (X)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
8,极值的判别方法：(极值是在X。附近所有的点，都有f(x)Vf(Xo)，则f(Xo)是函数f
(X)的极大值，极小值同理)
当函数f (X)在点Xo处连续时，
①如果在X。附近的左侧f(X)〉0,右侧f(x) V 0,那么f(X。)是极大值；
②如果在Xo附近的左侧f -(X) V 0，右侧f'(X) > 0,那么f(Xo)是极小值.
也就是说X。是极值点的充分条件是X。点两侧导数异号，而不是f(x) =0①.此外，函