文档介绍：第一章微积分 极限上页下页返回结束 极限主要教学内容: 数列极限函数极限极限的性质函数的连续性两个重要极限无穷小量与无穷大量极限应用举例上页下页返回结束数列的极限例 1 《庄子》中记载着庄子朋友惠施名言: “一尺之捶,日取其半,万世不竭. ”通项 1/2n 无限接近 0,但又永远不会等于 0. 正如《庄子》所说: “万世不竭”. 哲学辩证的思想:有限和无限的统一数学的思想:数列极限日子序号 n截取量 f(n) 1 1/2 2 1/4 3 1/8 4 1/16 5 1/32 …… n 1/2 n…… 极限上页下页返回结束例2刘徽运用割圆术算出圆周率?. 东汉科学家张衡: ?=; 东汉天文学家王蕃: ?= 三国时代数学家刘徽:割圆术,用圆的内接正n边形周长逼近圆周. n无限增大时,其周长无限接近圆周?d,算出?= 。南北朝数学家祖冲之:用刘徽割圆术计算 11 次,分割圆为 12288 边形, ?= ,成为此后千年世界上最准确的圆周率。 极限上页下页返回结束看几个实例:观察在一定条件下,数列的变化趋势数列:按一定次序排列的一列数。 极限 0, 1,,4 1,3 1,2 1,1???n0,2 )1(,,16 1,8 1,4 1,2 1?????? n n1, 2,,4 6,3 5,2 4,1 3????n n无极限?? 1)1(,,1,1,1,1 ???? n 无极限, , , , ,??),21(7531n?????上页下页返回结束数列与函数的关系用 Mathematica 在平面上画出数列的散点图 Table [f[n] , {n, min , max , step} ] 利用 ListPlot[ ] 和 Table[ ] 语句作图,如画出{n/(n+1)} ListPlot[Table[ n/(n+1),{n,1,100}]] 极限)(nfx n?,它的定义域是全体正整数 20 40 60 80 100 上页下页返回结束数列极限的定义给定数列{xn} ,当项数 n无限增大时(记作 n ??),通项 xn 无限地接近常数 A,则称常数A为数列{xn} 的极限,记作 , 同时说数列{xn} 收敛到 {xn} 发散. 注:“”读作“n趋于无穷大时 xn 的极限是 A”,也简化读作“ limit xn 等于 A”. 思考:如何理解“无限接近”? 极限上页下页返回结束例 3 0, 故无限地逼近 1. 因此 =1 . 极限 20 40 60 80 100 - - (-1)n/n 的图像上页下页返回结束例 4 : a0 , a0q , a0q2 ,…, a0qn ,…称为等比数列, ,例 1中每日截取量形成的数列,从惠施名言得出它是 a0=1/2 , q=1/2 的等比数列. 若 a0 ?0,则有 极限上页下页返回结束例如:考察{a0qn} 极限 0,2 1,,2 1,2 1,2 1,2 1 432??? n 2 1,2 1 0??qa1,2 0??qa 2,2,,2,2,2,2??? 0 3, 3 a q ? ?????,3,,3,3,3,3 432n极限不存在 4 6 8 10 4 6 8 10 500 1000 1500 2000 2500 3000