文档介绍：《随机振动理论》读书报告 1 引论在工程中,一个具体系统的振动往往是很复杂的。它同时受着许多因素的影响,其中有的因素是确定性的、可以估计的。也有的因素是随机的、无法估计的. 因此一切实际系统的振动都具有一定的随机性。也就是说严格地讲,,可以略去次要的随机因素的影响时,就把问题简化为确定性的。在确定性的分析中,如果结构的初始状态、动力特性以及外加荷载都是已知的、确定的,那么由结构的运动方程就可以得到结构的确定性响应。但在实际中,外加荷载、初始条件以及结构本身都具有随机性,因此可采用三类随机微分方程来分析这些问题: (1) 第一类随机微分方程只有初始条件是随机的。这一类问题首先起源于统计物理学和动力学理论。近年来在工程力学、化学动力学等领域中起着重要的作用。例如空间弹道分析就含有随机初值问题。(2) 第二类随机微分方程的特点是随机元素只出现在方程的非齐次项或输入项(外荷载项)。单自由度系统在地震地面加速度作用下的运动方程: )()()()(tXmt kY tYctYm g?????????(3) 第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程。这种方程的研究是近年来才开始。因为在研究实际工程技术和物理问题时。由于系统本身的不确定性和复杂性,不可避免地给数学模式带来不确定性的因素,因此,采用随机系数的微分方程是很自然的,而且亦是合理的。例如这类方程会出现在非均匀介质中波的传播和物理、工程、生物领域中不完全确定系统的动力学问题中。研究随机振动的目的,是研究结构在随机激励下随机响应的概率特性;从工程观点来看,其最终目的分析结构系统在随机激励下,研究结构在其使用期内的功能和可靠度。所以,在随机振动理论分析中,将荷载(外加激励)系统作为随机过程加以模型化,并用概率论来定量评价结构(机械)系统具有何种程度的可靠度(安全度)。 2 概率论的若干基本知识通常把具有某种特定性质的对象的全体称为集合,简称集。其中每一个属于这种“集”的对象,称为集的一个元素。概率古典定义:设在一个试验,有也只有 N 个可能发生的情况,并且每个情况都是等可能。其中恰恰有 u 个情况具有性质 A,则 A的概率为 u/A ,记作 P(A)=u/A , 0≤ P(A) ≤1。随机变量、概率分布函数和概率密度函数随机变量:离散型、连续型概率分布函数)()(xXPxF X??( ) 概率密度函数当)(xF X连续可导时,定义概率密度函数 x xFxxFdx xdF xp XXx XX????????)()( lim )()( 0( ) 按定义: ????????? 1)()(du upF XX;???? xXXdu upxF)()(0)()(?????? XXPP 联合分布的随机变量联合概率分布函数概率分布函数和概率密度函数的概念可以推广到两个或两个以上随机变量的情况。在求解实际问题中我们往往需要知道两个或更多个随机变量的联合性质。首先研究两个随机变量的情况。设 X 1及 X 2分别为时刻 t 1及 t 2时的随机激振力。 X 1及 X 2的联合性质由联合概率分布函数描述如下: 条件分布和统计独立性 1)如果两个随机变量 X及Y为离散型,则在条件 Y=y 下X=x 的概率为: )(/),()|( |yPyxPyxP Y XY YX? 2)对于连续型的两个随机变量:)(/),()|( |yPyxPyxP Y XY YX?定义 P y(y)=0 时, P X|Y(x,y)=0 。 3)独立性的定义对于离散型随机变量 X及Y,如果 X独立于 Y则有)()|( |xPyxP XYX?。对于连续型随机变量 X及Y,如果 X独立于 Y则有)()|( |xPyxP XYX?。得到: )()(),(yPxPyxP YX XY?期望值设X 为一随机变量,若该式有定义???????dxxpx X)( (即积分保持有限), 则X 的期望值定义为????????dxx xp XE X)( 。(集合平均或统计平均) 对于随机变量函数)(XfY?的期望值定义为)]([)(xfEYE?, 该结果可以推广到多维随机变量函数,若多维积分保持有限,即????????????????? nn Xn XXdx dxdxxxxpf...)...(... 2121... 则有:???????????????? nnxxxn ndx dxdxxxxPxxxfxxxfE...)...()...(... )]...([ 2121...21 21矩一阶矩(即期望):?????????dxx xp XE XX)(?; 二阶矩: ?????????dxxpxXE XX)( 2)2(2?; n阶矩: ?????????dxxpxXE X nnX n)( )(?; 联合(