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流量问题 （物理背景 ）
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第二类曲面积分的计算方法
赵海林 张纬纬
摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式， Stokes 公式，
积
分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解 .
关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形
式
引言
曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用
着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学****过程中，必
须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧 .由于第二型曲面
积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有
一定的难度，而且是数学分析学****中的难点 ,许多学生在求解这一类题型时感到相当
困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法
的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第
二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更
加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用 .
预备知识
． 1 第二型曲面积分的概念
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流量问题 （物理背景 ）
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设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)的速度为
v v v v
v(x, y,z) P(x,y,z)i Q(x, y,z)j R(x, y,z)k,
汇是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面汇一侧流向另一侧的流量 .
v
若 为平面上面积为 S的区域，而流速v是常向量， 指定侧的单位法向量
v v v v
n cos i cos j cosk
则
v. v v
S v cos S v n.
v
若 为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量
⑴分割
将 任意分成小块 Si(i 1,2…，n), Si同时代表其面积
近似
v v v
Mi( i, i, i) Si以点Mi处的流速vi v(Mi)和单位法向量ni分别代替
Si上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过 Si指定侧的流量的近似值：
v v
Si vi ni(i 1,2，…，n).
求和
n v v
vi ni Si
i 1
取极限
n v v
设ITI 1噌｛ S的直径｝，则二队 vi ni Si.
i 1
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分
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设P, Q, R为定义在双侧曲面S上的函数，在S所指定的一侧作分割「它
把S分为n个小曲面S1,S2,…，Sn,分割T的细度二；'{ S的径},
ITII maxn{ si的直径}, siyz, sizx, sixy,分别表示§在三个坐标面上的投影区域
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流量问题 （物理背景 ）
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的面积，,
S在xoy平面的投影区域的面积 ，若S法线正向与z轴正向成钝角时，
他在平面的投影区域xoy勺面积sxy为负在各个小曲面§上任取一点(i, i, i) .
n n n
J P( i, i, i) Syz \ Q( i, i, i) GzxrR( i，i, i) Sxy 石 i 1 i 1 i 1 仔仕
且与曲面S的分割T和(i, i, i)在Si上的取法无关，则称此极限为函数 P, Q, R.
在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作
P(x,y,z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
或者
P(x, y,z)dydz Q(x,y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy
.
S S S
据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面 S的负侧流向正侧的总流量为
v (P,Q,R)在单位时间内从曲面S的负侧流向正侧的总流量为
P(x,y,z)dxdz Q(x,y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy
S
又若，空间的磁场强度为(P(x, y,z), Q(x, y, z), R(x, y, z)),则通过曲面S的磁通量
H P(x, y,z)d