文档介绍：极限运算法则本节讨论极限的求法。利用极限的定义,从变量的变化趋势来观察函数的极限,对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。一、无穷小在实际应用中,经常会遇到极限为 0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义,而且更具有理论价值,值得我们单独给出定义 : 极限为零的变量称为无穷小. 定义1 如果对于任意给定的正数?( 不论它多么小), 总存在正数?( 或正数X ), 使得对于适合不等式???? 00xx (或?xX ) 的一切x , 对应的函数值)(xf 都满足不等式??)(xf , 那末称函数)(xf 当0xx?(或?? x )时为无穷小, 记作).0)( lim (0)( lim 0?????xfxf xxx或例如,,0 sin lim 0??x x?.0 sin 时的无穷小是当函数??xx ,0 1 lim ???x x?. 1 时的无穷小是当函数???xx,0 )1( lim ????n nn?.} )1({ 时的无穷小是当数列????nn n 注意 ,必须指明自变量的变化过程; ,不能与很小的数混淆; . : 定理 1 ),()()( lim 0xAxfAxf xx??????其中)(x?是当0xx?,)( lim 0Axf xx??设,)()(Axfx???令,0)( lim 0???x xx 则有).()(xAxf????充分性),()(xAxf???设,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx??))(( lim )( lim 00xAxf xxxx?????则)( lim 0xA xx????.A?意义 (无穷小); ).(,)( )(.2 0xAxf xxf??误差为附近的近似表达式在给出了函数 : 定理 2 在同一过程中,, 时的两个无穷小是当及设????x 使得,0,0,0 21??????NN ;2 1????时恒有当Nx;2 2????时恒有当Nx },, max{ 21NNN?取恒有时当,Nx????????22 ????,??)(0???????x 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 是无穷小, 时例如 n n 1,,??.1 1 不是无穷小之和为个但n n 定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证内有界, 在设函数),( 10 0?xUu. 0,0,0 101Mu xxM?????????恒有时使得当则, 0 时的无穷小是当又设 xx??. 0,0,0 202M xx??????????????恒有时使得当},, min{ 21????取恒有时则当,0 0????xx?????uuM M ???,??., 0 为无穷小时当????uxx 推论 1 在同一过程中, 2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 3 xx xx 1 arctan , 1 sin ,0, 2时当例如?都是无穷小二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义 2 如果对于任意给定的正数M ( 不论它多么小), 总存在正数?( 或正数X ), 使得对于适合不等式???? 00xx (或?xX ) 的一切x , 所对应的函数值)(xf 都满足不等式Mxf?)( , 则称函数)(xf 当0xx?(或?? x ) 时为无穷小, 记作).)( lim ()( lim 0???????xfxf xxx或特殊情形:正无穷大,负无穷大. ))( lim ()( lim )()( 0 0 ????????????xfxf x xxx xx或注意 ,不能与很大的数混淆;.)( lim .2 0 认为极限存在切勿将???xf xx3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.