线性代数课件相似矩阵和矩阵对角化.ppt

文档介绍：线性代数课件相似矩阵和矩阵对角化
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相似矩阵的定义
定义3 已知矩阵 ， 是两个 阶方阵如果存在一个满秩矩阵 使得
则称 ， 相似，记作
相似关系满足以下性质：
（1）自反性： ；
（2）对称性： ；
（3）传递性：
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一些有用的定理
定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
证明 ：因为 相似，所以存在可逆阵 使得
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推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值。
若方阵 能与一个对角阵相似，则称 可对角化
方阵 可对角化的判定条件
定理4 阶方阵 可以与一个对角型矩阵 相似的充分必要条件是， 有 个线性无关的特征向量。
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证明 假设存在可逆矩阵 ，使得
为对角阵 ，
设 ，则由
即
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于是
可见 ，是 的特征值，向量 就是矩阵 关于特征值 的特征向量
反之，设 恰有 个特征值，并可对应 个特征向量 ，并且它们线性无关。
令 即是要找的相似变换。
定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。
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定理5 如果矩阵 的特征值 ，则与它们对应的特征向量 和 线性无关。
推论 若 阶方阵 有 个互异的特征值
则 可对角化，且
注意上述命题的逆命题不成立，例如单位阵
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定理6 设 是 的 个互异的特征值， 是 的属于 的 个线性无关的特征向量， ，则
也线性无关。
定理6是说当 有多重特征值时，若每个特征值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其也可以对角化。
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定理7 设 是 的一个 重特征值，对应的特征向量线性无关的最大个数为 ，则
也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其对应的特征值的重数。
定理8 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的每个 重特征值 对应有 个相形无关的特征向量。即
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例题
例1 设 试问 可否对角
化？若能，求出相应的矩阵 。
解：由 可得 的特征值为
（二重）
求解特征向量，分别求解
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