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放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学****能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求的值; (2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累:(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10) (11)
(11)
(12)
(13)
(14) (15)
(15)
例2.(1)求证:
2
(2)求证:
(3)求证:
(4) 求证：
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，
所以
:
解析: 一方面: 因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,
所以综上有
例4.(2008年全国一卷)..
设，:.
解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数, 使, 则,
若,则由知
,,
3
因为,于是
,求证: .
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.
,,求证:.
解析:
所以
从而
,,求证:
证明: ,
因为 ,所以
所以
二、函数放缩
：.
4
解析:先构造函数有,从而
所以
:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式: ,
:
解析:提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
::构造函数后即可证明
5
: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题)
:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14. 已知证明
解析: ,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是，
即
注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：
，
即
例16.(2008年福州市质检)已知函数若
解析:设函数
6
∴函数）上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有
而
即
令则
例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.
(I)求证：函数上是增函数；
(II)当；
(III)已知不等式时恒成立，
求证：
解析:(I),所以函数上是增函数
(II)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
7
相加后可以得到:
所以