文档介绍：2014年3月 Mar.,2014 运筹学学报 Operations Research Transactions 第18卷第1期 非线性半定规划若干进展木张立卫1,t 摘要讨论非线性半定规划的四个专题,包括半正定矩阵锥的变分分析、非凸半定规划问题的最优性条件、非凸半定规划问题的扰动分析和非凸半定规划问题的增广Lagrange方法. 关键词半定规划,变分分析,扰动分析,增广Lagrange方法中图分类号0221 2010数学分类号90C30 1●●-● 30me toDICS ln nonllnear DOSltlVe ‘1?‘★ semi。deliniteprogrammin91。 ZHANG LiweiI,十 Abstract Four topics innonlinear positive semi—definiteprogramming are discussed, which include the variationaLl analysis about the cone ofpositive semi—deftnitematrices. optimality conditions,perturbation analysis and the augmented Lagrange method for nonlinear positive semi—definiteprogramming. Keywords positively semi-definiteprogramming,variational analysis,perturbation analysis,augmented Lagrange method Chinese Library Classification 022 1 2010 Mathematics Subject Classiflcation 90C30 0 前言锥优化问题泛指约束集合由映射属于闭凸锥形式定义的优化问题,即 min f(x) (x)∈K, () X∈X0. :X-÷R,映射G:Rn_÷y,x与y是两个有限维Hilbert空间,K是y中的闭凸锥,X0 cX是有界闭凸集. 如果K为对称锥【1】,则称(),,对称锥优化问题己经成为一个相当活跃和热门的研究领域,吸引了一大批科学研究工作者,其中包括凸规划、线性代数、数值优化、组合优化、控制论、不确定优化、鲁棒优化、, :2013年12月19日术基金项目:国家自然科学基金(,91130007) ,辽宁大连116024:Institute of Operations Research and Control Theory,School ofMathematical Sciences,Dalian University ofTechnology,Dalian 116024,Liaoning,China t通讯作者Corresponding author,Email:******@dlut. 张立卫典的线性及非线性规划问题、半定规划(SDP)问题, Nemirovski[2】在世界数学家大会上,专门介绍了对称锥线性优化问题的理论、算法和应用这标志着对称锥优化已经得到国际数学界的广泛关注. 所谓线性半定规划,是形式如下的线性锥约束优化问题其中C∈S”,内积(,)定义为(A,B)=,n(ATB),A:S”_÷Rm是线性算子,定义为『(A1,x)] 4x 2I-。A』,x,J’ At∈s“。=1,一‘,m· 问题()的对偶问题为 max bTy "t A+Y=∑YmA i=1 线性半定规划问题的一个重要的背景是线性矩阵不等式(LMI),,可以定义中心路径,建立_Karmarkar原始内点方法、原始一对偶内点算法和势减算法等【,求解线性半定规划的一个重要进展是文【4】提出的Newton-CG方法,这一方法可以有效求解具有一定结构的大规模线性SDPIh] mln z∈X . f(x) h(x)=0, g(x)∈S,p, () 其中。厂:Rn_÷IR,h:Rn斗Rm,g:Rn_÷()的一类重要的特殊情况,即K={ore}X皿,Xo=瓜礼的情况