文档介绍：二节相似矩阵
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一、相似矩阵的概念和性质
设A,B为n阶矩阵。如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得
()
则称矩阵A与B相似，记作
“相似”是矩阵间的一种关系，它具有如下性质：
(1) 反身性：对任意方阵A,都有 。
因为
(2) 对称性：若 ，则 。
因
(3) 传递性：若 ，则
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相似矩阵的特征值相同。
相似矩阵具有如下重要性质：
性质1
性质2
若 ，且A可逆，则B也可逆，且
性质3
若 ，则 ，其中m是正整数。
性质4
性质6
性质5
相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵的秩相等。
相似矩阵的迹相等。
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例2
已知矩阵
如果A与B相似，求x, y的值。
解法1
因为 ，
所以A, B有相同的行列式和迹。
于是tr (A)=tr (B),
即
①
又
可得
解得
代入①得
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解法2
相似矩阵 有相当的特征多项式。
由 有
即
计算两个行列式，得到
比较等式两边 同次幂的系数，得
解得
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二、矩阵可相似对角化的条件
如果矩阵A可以与一个对角矩阵相似，则称矩阵A可相似对
角化(可对角化)。
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线
性无关的特征向量。
推论
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则矩阵A可与对角矩
阵相似。
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例3
，我们已经求得矩阵
的特征值
对应的线性无关的特征向量为
而特征值 对应的特征向量为
且 线性无关。
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令
则
例4
设矩阵
判断A是否可对角化？
解
矩阵A的特征多项式
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(第2、3列加到第1列上)
由此得A的特征值
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对于特征值
解齐次线性方程组
得A的对应于 的一个特征向量
对于特征值
解齐次线性方程组
可得其基础解系
由于2是A的二重特征值，对应于 的特征向量
仅有一个。
对于矩阵A，不能求出三个线性无关的特征向量，
因此A不能相似对角化。
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