文档介绍：机动目录上页下页返回结束《用微积分建立疾病传染模型并预测其趋势》电子科技大学:李皓月一、初等模型的建立(参量: N、 i(t) 、 s(t) 、?、a、?、)将人员分为两个集合,即病人和健康人(易感者)。 ,即不计出生人数和死亡人数, N。 i(t) 。 s(t) 。此时有 ?。 a,且不考虑治愈后的免疫力。 ?。( ) ( ) 1 i t s t ? ?在上述的假设条件下,人员流程图如下 Ns(t) 健康人群( ) ( ) aNi t s t ??????( ) Ni t ????? Ni (t) 病人??( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 N i t t i t aNi t s t t Ni t t i t s t ? ??????????? ??于是可列下列等式对第一个等式两边同时除以,并令 t? 0t ??则可变换为 d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) 1 i N aNs t i t Ni t t i t s t ? ??? ????? ?? 2d +( - ) =- d i a i ai t ?? ?-1= z i d +(-1)( - ) = d z a z a t ?? ?带入化简后伯努利方程令则有( - ) ( - ) = + = e + a- a t a t z at C a z e C ?? ????? ???? ??? ??? ??解得 z的解为当时当时 a ? ?? a ? ??如果有初始值 t=0 时, 1 ( ) 0 1 1 0 00 (1 ) 1, 1 (1 ) ( ),1 a t i e ai i tia ati ? ??? ?? ?? ??? ?? ???? ??? ??????????其中 a????由和的含义可知, 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接触数。于是有? a? 1? 1 1 , 1 lim ( ) 0, 1 t i t ? ??????? ?????(0)= o i i 0t i?>1 1-1/ ?i 0i 0 i0t ??1i 0此模型可以粗略预测不计人口变化且不考虑治愈后人群的传染概率的变化的疾病二、中等模型的建立(参量: N、 i(t) 、 s(t) 、 r(t) 、?、a、?、) 将人群分为三个集合,即病人,未患病人群,已治愈人群 1假设疫区的人口状况不变,即不计出生人数和死亡人数, N 2设t时刻病人比例为 i(t) 3设t时刻易感人群(从未患病人群)的比例为 s(t) 4设t时刻已治愈人群比例 r(t) 5设每人每天平均接触的人数比例为? 6易感人群被感染的概率为常数 a, 已治愈人群拥有免疫力不会再患病 7平均病人人群每天的治愈率为常数? a ( ) ( ) Ns t i t ??????传染( ) Ni t ?????治愈 dddddd s N N asi ti N aNsi Ni tr N Ni t ?? ????????? ??????? 00d , (0) dd , (0) d s asi s s ti asi i i i t ?? ???? ?????? ? ??? Ns(t) 易感者人群 Ni(t) 患病人群 Nr(t) 痊愈人群于是可列方程且有 s(t) +i(t) +r(t) =1 , 则方程可化简为上述的初值问题无法求出解析解,只能通过数值解法求出数值解。此处用 matlab 软件求解。设λ= 1 , a =1, μ= 0. 3, i(0) = 0. 02, s(0) = 0. 98 , MATLAB 软件编程 function y=ill(t,x) a=1;b= y=[a * x(1) * x(2)-b * x(1),-a