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MATLAB 仿真实现 LMS和RLS算法的二阶 AR模型
及仿真结果分析
一、题目概述： 二阶AR模型如图 1a所示，可以如下差分方程表示：
x(n)v(n)a1x(n1)a2x(n2)v(n)d(n)
（1）
图1a
其中， v(n)是均值 为 0、方差为 的高斯白噪声序 列。 ， 为描述性参数 ，
a1 ,a2 0,(-1)=x(-2)=0，权值 ， =①推导最优
滤波权值（理论分析一下） 。②按此参数设置，由计算机仿真模拟权值收敛曲线并画出，改
变步长在此模拟权值变化规律。③对仿真结果进行说明。④应用RLS算法再次模拟最优滤波权值。
解答思路：
（1）高斯白噪声用 normrnd函数产生均值为 0、方差为 1*N矩
阵来实现。随后的产生的信号用题目中的二阶 AR模型根据公式（ 1）产生，激励源是之前
产生的高斯白噪声。
2）信号长度N取为2000点，用以观察滤波器权值变化从而估计滤波器系数，得到其收敛值。
（3）仿真时分别仿真了单次 LMS算法和RLS算法下的收敛性能以及 100次取平均后
的LMS和RLS算法的收敛性能，以便更好的比较观察二者的特性。
（4）在用不同的分别取 3个不同的 值仿真 LMS 算法时， 值分别取为
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,, ；用3个不同的λ值仿真RLS算法时λ值分别取为 1,, ，
从而分析不同步长因子、不同遗忘因子对相应算法收敛效果的影响。
二、 算法简介
1．自适应算法的基本原理
自适应算法的基本信号关系如下图所示：
x(n)
y(n)
参数可调数字滤波器
-
d(n)
e(n)
+
Σ
自适应算法
图1b自适应滤波器框图
输入信号x(n)通过参数可调的数字滤波器后产生输出信号
y(n)，将其与参考信号d(n)
进行比较，形成误差信号
e(n)。e(n)通过某种自适应算法对滤波器参数进行调整，
最终是e(n)
的均方值最小。当误差信号
e(n)的均方误差达到最小的时候，可以证明信号
y(n)是信号d(n)
的最佳估计。
LMS算法简介
LMS算法采用平方误差最小的原则代替最小均方误差最小的原则，信号基本关系如下：
N 1
y(n)
wi(n)x(n
i)
0
e(n)
d(n)y(n)
（2）
wi(n
1)wi(n)
2
e(n)x(ni)
i(0,1,2,....N
1)
写成矩阵型式为：
y(n)
WT(n)X(n)
e(n)
d(n)y(n)
（3）
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W(n1)W(n)2
e(n)X(n)
式（3）中，W(n)为n时刻自适应滤波器的权值，
W(n)
[w0(n),w1(n),....wN1(n)]T，
N为自适应滤波器的阶数，本设计中取为
2000；X(
n)
为n
时刻自适应滤波器的参考输入
矢量，由最近N个信号采样值构成，
X
(
n
)
[(
),
(
1),....(
nN
1)]T
xn
xn
x
；d(n)是期
望的输出值；e(n)为自适应滤波器的输出误差调节信号
(简称失调信号)
；μ是控制自适应
速度与稳定性的增益常数，又叫收敛因子或步长因子。
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3．RLS算法简介
RLS算法是用二乘方的时间平均的最小化准则取代