文档介绍：猎狗追兔子数学实验报告
2
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
数学实验报告—猎狗追赶兔子模型实验
有一只猎狗在B点位置发现了一只兔子在正东北方距离它200米的地方O处，此时兔子开场以8米/秒的速度向正西北方距离为120米的洞口A全速跑去，假设猎狗在追赶兔子的时候始终朝着兔子的方向全速奔跑，用计算机仿真法等多种方法完成下面的实验：
(1) 问猎狗能追上兔子的最小速度是多少？
(2) 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程是多少？
(3) 画出猎狗追赶兔子奔跑的曲线图。
(4) 假设在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的距离为30米时，兔子由于害怕,奔跑的速度每秒减半，，在这种情况下，再按前面的〔1〕—〔3〕完成实验任务。
问题的分析
模型求解
求解析解
有方程：
dp1+p2=rdxx,pc=0
解该变量别离方程得
p+1+p2=(xc)r,
3
等价地亦可转换为
P -1+p2=-(cx)r
从而可得
dydx=12xcr-cxryc=0
1)当r<1时，方程的解为
y=c211+rxcr-11-rcx1-r+cr1-r2,
此为猎狗追赶兔子的路线函数。当x=0时，猎狗追上兔子，猎狗走过的距离为
y=cr1-r2,
追赶时间为
t=ya=cra(1-r2)=bc(b2-a2).
2〕当r=1时，方程的解为
Y=12(x2-c22c-clnxc),
3〕当 r>1时，方程的解为
y=c211+r(xc)1+r+1r-1(cx)r-1-crr2-1,
(2)用MATLAB软件求解析解
在MATLAB软件命令窗中执行命令
Dsolve(‘Dy=1/2*((x/c)^r-(c/x)^r)’,’y(c)=0’,’x’)
得方程的解析解为
ans=1/2*exp(-r*(log(c)-log(x)))*c^r*(1/c)^r/(r+1)*x+1/2*
exp(r*(log(c)-log(x)))/((-1+r)*x-1/2*c*(-(1/c)^r*c^r+c^r*(1/c)^r*r+r+1)/(r^2-1)
(3)用MATLAB软件求数值解
先生成初值问题的函数文件。
Function y=hs(t,y)
4
Y=8/18*((t/3)^(8/18)-(3/t)^(8/18))
，然后在MATLAB软件命令窗中用二三阶龙格——库塔算法计算初值问题的数值解。
执行命令
Ode23(‘hs’,200,,0)
假设选用四五阶龙格——库塔算法解初值问题，那么执行命令
Ode45(‘hs’,200,,0)
最终得到猎狗的坐标。
此次问题可以选用计算机仿真饭
显然可以将事件坐标转换到第一象限内，设兔子初始位置O为〔0，0〕,运动方向为沿x轴正方向，速度为a。洞口A坐标为(0,120)。猎狗初始位置B为〔200,0〕，运动速度为b。t=tk时兔子坐标为〔0,tzy〕,猎狗坐标为〔lgx,lgy〕。追赶的方向可以用方向余弦表示：
cosαk=0-lgx(0-lgx)2+(a*tk-lgy)2,
sinαk=a*tk-lgy(0-lgx)2+(a*tk-lgy)2,
取时间步长为Δt，那么在时刻t+Δt时，猎狗位置可表示为
lgxk+1-lgxk=∆lgxk=b∆tcosαk，
lgyk+1-lgyk=∆lgyk=b∆tsinαk。
仿真算法：
第一步：设置时间