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二次函数知识点归纳及提高训练
2
.足义:一般地，如果 y=ax +bx+c(a,b,c是常数，a#0),那么y叫做x的二次函数.
.二次函数y = ax2的性质
2 2
(1)抛物线y =ax (a=0)的顶点是坐标原点，对称轴是 y轴.(2)函数y = ax的图像与a的符号关系.
①当a>0时已 抛物线开口向上y 顶点为其最低点；②当2<0时= 抛物线开口向下已 顶点为其最高点
.二次函数 y = ax2 +bx +c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
2
.二次函数y=ax +bx+c用配方法可化成：y = a(x—h)+k的形式，其中h = __b_, k = 4ac -b
2 a 4 a
.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
G 2 … 2 2 2 2 .
①y=ax Sy=ax +k；③ y=a(x-h)；④ y = a(x-h)+k^y = ax +bx + c.
.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .
①a决定抛物线的开口方向：
当a>0时，开口向上；当a <0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作x = ，y轴记作直线x = 0.
.顶点决定抛物 ，如果二次项系数 a相同，那么抛物线的开口方向、开口大
小完全相同，只是顶点的位置不同
.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：
y …bx+c=aM +
'、、2a J
2 . 2 2
4ac-b ，，顶点是(一，c—b ),对称轴是直线
4a 2a 4a
b
x 二 一一
2a
(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y =a(x-h 2 +k的形式，得到顶点为(h,k),对称轴是x = h .
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形， 所以对称轴的连线的垂直平分线是抛
物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 ^
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★
.抛物线y =ax2 +bx +c中，a,b, c的作用
2 .
⑴a决te开口万向及开口大小，这与 y = ax中的a完全一样.
(2)=a^+bx+c的对称轴是直线x =」，故:
2a
①b = 0时，对称轴为y轴；②b>0(即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧；
a
③2 Mo (即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
a
2
(3) c的大小决定抛物线 y=ax +bx+c与y轴交点的位置.
当x=0时，y =c , •.・抛物线y =ax2 +bx+c与y轴有且只有一个交点(0, c)：
①c=0,抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③ c<0,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 -<0.
a
:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
精品资料
2 y =ax
当a a 0时
x =0( y 轴)
(0,0)
精品资料
一2 一 y = ax + k
开口向上
当a <0时
开口向卜
x = 0(y 轴)
(0, k)
2
y =a(x -h)
x = h
(h,0)
2 2
y =a(x —h ) +k
x = h
(h,k)
2 ...
y = ax + bx + c
b
x =——
2a
b 4ac — b2
(c， / )
2a 4a
.用待定系数法求二次函数的解析式
一般式：y = ax2 +bx+ c .已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式.
一 .. .2 . ,,.一一 ..
(2)顶点式：y = a(x -h ) +，通常选择顶点式 ^
(3)交点式：已知图像与 x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式： y = a(x-xi xx- x2 ).
.直线与抛物线的交点
2
(1)y轴与抛物线y=ax +bx+c得交点为(0 , c)
2 2
(2)与y轴平仃的直线x=h与抛物线y=ax +bx + c有且只有一个交点(h,ah +bh + c).
(3)抛物线与x轴的交点
2
二次函数y=ax +bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2,是对应一元二次方程
2
ax +bx +c =0的两个实数根 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
①有两个