文档介绍：对勾函数 反比例函数与双曲线方程
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
福建尤溪文公高级中学 郑明淮
在初中数学里函数叫反比例函数,它的图像就是双曲线,两坐标轴就是双曲线的渐近线。而高中数学平面解析几何中的双曲线就是以方程形式呈现的,其标准方程为,两惭近线方程为。我们在研究对勾函数的图
像时注意到它同样有两条渐近线,分别就是直线与。那么它的图像到底就是不就是双曲线呢？初高中的数学教材并未对此作出说明,不能不说就是一种缺憾。本文就这一问题寻求理论支撑以并在实践操作层面作一探讨。
一、反比例函数与对勾函数的图像都就是双曲线
1、平面解析几何知识告诉我们:二元二次方程所表示的曲线由两判别式与与0的大小关系共同决定。当且时,它表示双曲线。
对于反比例函数,可以化为方程,容易计算得:且,因此它的图像就是双曲线。对于函数可以化为方程 ,计算得,且,因此它的图像就是双曲线。
2、作反比例函数与对勾函数图像的两条惭近线所形成角的平分线得两条过原点且互相垂直的直线与,并设其倾斜角分别为与且。以与作为轴与轴重新建立直角坐标系,我们会发现,它们与高中所学标准方程双曲线图形就是一致的。也就就是说把这两个函数图像及相应的惭近线绕原点沿顺时针方向旋转角度,便可得到标准方程形式的双曲线。如图:
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
函数图像虽然不像对勾,但仍就是双曲线。如图:
正比例函数图像双曲线顶点坐标、焦点坐标与离心率
利用双曲线标准方程中的不变量,我们可以把正比例函数图象重新建立坐标系得到标准方程,从而求得不变量的值,再用于求原坐标系下的焦点坐标与离心率。
以为例。两惭近线
夹角平分线为,其中与双曲线有交点的就是,求出交点坐标为:
A与B,设双曲线的标准方程为,则,,又在以直线为坐标轴的新坐标系中,双曲线的惭近线y轴在新坐标系下的倾斜角为,斜率为,所以,所以该双曲线的标准方程为:。
利用标准方程进一步可以求出半焦距,因为焦点在实轴上,设焦点坐标为F,则由解得:。所以的交点坐标为与。离心率。
双曲线的实轴、虚轴、顶点坐标、焦点坐标与离心率
双曲线的两条渐近线方程为与,在高中学生未系统
学习坐标系旋转相关知识的情况下,如何通过已有的知识来解决求双曲线的实轴与虚轴所在的直线方程进而解决求顶点坐标、焦点坐标与离心率一系列问题？
我们可以借助向量相关知识来确定实轴所在直线的斜率。以原点为起点取两渐近线的两个单位方向向量,并使双曲线的实轴经过这两向量夹角。则这两个向量的与向量就就是实轴的
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
对勾函数 反比例函数与双曲线方程
方向向量。设该方向向量为,则实轴的斜率为。
下面以双曲线为例来解决这一问题,其她情形可作类似解答。
显然,双曲线的实轴经过第一象限。取两惭近线的单位方向量,,则实轴的方向向量为,所以实轴的斜率为,又实轴过原点,可得实轴所在的直线方程为:。
因为虚轴过原点且与实轴垂直,所以它的直线方程为:。
将实轴方程与双曲线方程联立可解得双曲线的两个顶点坐标为:
,
双曲线的实半轴长为。
下面以实轴所在直