文档介绍：第13章主成分分析和因子分析
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主成分分析
主成分分析的基本原理
主成分分析的数学模型
主成分分析的步骤
主成分分析的Stata命令
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主成分的概念由Karl Pearson在1901年提出
考察多个变量间相关性一种多元统计方法
研究如何通过少数几个主成分(principal component)来解释多个变量间的内部结构。即从原始变量中导出少数几个主分量，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关
主成分分析的目的：数据的压缩；数据的解释
常被用来寻找判断事物或现象的综合指标，并对综合指标所包含的信息进行适当的解释
什么是主成分分析？ (principal component analysis)
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对这两个相关变量所携带的信息(在统计上信息往往是指数据的变异)进行浓缩处理
假定只有两个变量x1和x2，从散点图可见两个变量存在相关关系，这意味着两个变量提供的信息有重叠
主成分分析的基本思想 (以两个变量为例)
如果把两个变量用一个变量来表示，同时这一个新的变量又尽可能包含原来的两个变量的信息，这就是降维的过程
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数学上的处理是将原始的p个变量作线性组合，作为新的变量
设p个原始变量为 ，新的变量(即主成分)为 ，主成分和原始变量之间的关系表示为
主成分分析的数学模型
主成分分析的数学模型
aij为第i个主成分yi和原来的第j个变量xj之间的线性相关系数，称为载荷(loading)。比如，a11表示第1主成分和原来的第1个变量之间的相关系数，a21表示第2主成分和原来的第1个变量之间的相关系数
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对原来的p个指标进行标准化，以消除变量在水平和量纲上的影响
根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵
求出协方差矩阵的特征根和特征向量
确定主成分，并对各主成分所包含的信息给予适当的解释
主成分分析的步骤
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Stata命令
pca、pcamat
estat
screeplot
scoreplot、loadingplot
rotate
predict
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【例】根据2008年一季度沪深两市农业板上市公司的9项主要指标数据，进行主成分分析，找出主成分并进行适当的解释
主成分分析 (实例分析)
基本情况
公司成长性指标
公司盈利能力性指标
公司股本扩张能力指标
公司名称
ROA
主营收入增长率
净利润增长率
主营业务利润率
ROE
EPS
每股净资产
每股公积金
总资产增长率
禾嘉股份
0
亚盛集团
-
冠农股份
St中农
-
-
0
0
-
敦煌种业
-
-
新农开发
-
-
-
香梨股份
-
-
-
新赛股份
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Stata的输出结果
estat smc
变量之间的存在较强的相关关系，适合作主成分分析
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Stata的输出结果 (选择主成分)
该表是选则主成分的主要依据
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