电路微分方程解法.doc

文档介绍：电路微分方程解法
第七章 二阶电路
用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
重点：
电路微分方程的建立
特征根的重要意义
微分方程解的物理意义
难点：
电路微分的解及其物理意义
不同特征根的讨论计算
知识复****br/>二阶齐次微分方程的通解形式
，其特征方程为：，特征根：。
当特征方程有不同的实根、时，
当特征方程有相同的实根时，
当特征方程有共轭的复根时，
欧拉公式


相反。
之后电容又开始放电，此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反，与刚才的过程相同，能量再次从电场能转化为电磁能，直到电容电压的大小与极性与初始情况一致，电路回到初始情况。
上述过程将不断重复，电路中的电压与电流也就形成周而复始的等幅振荡。
可以想象，当存在耗能元件时的情况。一种可能是电阻较小，电路仍然可以形成振荡，但由于能量在电场能与电磁能之间转化时，不断地被电阻元件消耗掉，所以形成的振荡为减幅振荡，即幅度随着时间衰减到零；另一种可能是电阻较大，电容存储的能量在第一次转移时就有大部分被电阻消耗掉，电路中的能量已经不可能在电场能与电磁能之间往返转移，电压、电流将直接衰减到零。
二阶电路的微分方程
二阶电路如下，其中电容电压的初始值为，电感电流的初始值为。
根据该电路列写电路方程为
其电路电流为：
因此：，
所以，电路方程为：
二阶电路微分方程的求解
方程的特征方程为。特征根为：
其中：
由特征根的性质（不等的实数、相等的实数或共轭的复数）就可以确定通解的具体形式。再据电路的初始条件即可得出通解中的待定系数。
二阶电路特征根的讨论
分别讨论特征根的情况。
过阻尼情况——非振荡放电过程
1．过阻尼的条件
当，即（）时，特征根、为不相等的负实数。
此时固有频率为不相等的负实数，
2．过阻尼时的响应
当特征根为不相等的实数时，方程的解的形式为
其中：
而，，且电路的初始条件，，有
而
，
同时
，
因此，初始条件为：
，
代入电路方程中，就可以解出其中的待定系数，得出
由此可见，和均为随着时间衰减的指数函数，电路的响应为非振荡响应。其中当电流的变化率为零的时刻时电流达到最大值。
而：
3．过阻尼时的响应曲线
临界阻尼情况
1．临界阻尼的条件
当，即（）时，特征根、为相等的负实数p；此时固有频率为相等的负实数，
2．临界阻尼时的响应
当方程的特征根相同时，，然后可以按照初值求取待定系数；也可以利用非振荡放电过程的解，令，取极限得出。
非振荡放电过程的解为：，令，取极限，根据罗必塔法则：
由此可见，和也为随着时间衰减的指数函数，仍然为非振荡响应。其中
3．临界阻尼时的响应曲线
临界阻尼时响应曲线的变化规律与过阻尼时的情况类似。
欠阻尼情况
1．欠阻尼的条件
当，即（）时，特征根、为一对共轭复数，其实部为负数。
2．欠阻尼时的响应
令，，则微分方程的特征根，。
如图所示，设与及之间存在三角关系
即 ，
则 ，。
根据欧拉公式：


可将特征根写为：
，
因此：
由此可见，和均为幅值随着时间按指数规律衰减的振荡函数，电路的响应为衰减振荡响应。
3．欠阻尼时的响应曲线
4．无阻尼的情况
无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。当时，，，，此时的响应为
由此可见，和均为正弦函数，其幅值不随时间衰减，电路的响应为等幅振荡响应，称为系统的固有频率，当二阶电路的激励为同频率的正弦函数时，称此时电路发生了谐振，其物理意义类似于机械系统的共振。
二阶电路的阶跃响应与冲激响应
二阶电路的阶跃响应
一、定义
二阶电路在阶跃激励下的零状态响应，称为阶跃响应。
二、求解的步骤
二阶电路的阶跃响应的求取类似于一阶电路的阶跃响应的求取方法。其步骤为
1．计算电路的初始值
、
、
2．列写电路微分方程
根据KCL或KVL定理列写将电路方程，将其整理成有关电容电压或电感电流（状态变量）的二阶微分方程。