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高考数学终极解题策略-构造函数
3•符号讨论不能忘
构建函数专题
(1)
f'(x)
f (x)
0
构造[exf(x)]'
ex[ f '(x) f(x)]
(2)
xf '(x)
f(x)
0
构造[xf(x)]'
xf '(x) f(x)
(3)
xf '(x)
nf (x)
0
构造[xn f(x)]'
n n 1
x f '(x) nx
f(x)
xn1[xf'(x) nf (x)]
(注意对x的符号进行讨论)
关系式为“减”
型
(1)
f'(x)
f(x)
0
构造[£)]'
e
f '(x)ex f (x)ex
f'(x) f(x)
(ex)2
x e
(2)
xf '(x)
f(x)
0
构造[f(x)]'
x
xf '(x) f(x)
2 x
(3)
xf '(x)
n f(x)
0
构造[f(nx)]'
xn f '(x) nxn 1f (x)
.n . 2
xf '(x) nf (x)
n 1
关系式为“加
型
x
x
x
(注意对x的符号进行讨论)
小结：1•加减形式积商定
典型例题：
例1•设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x) f(x)g'(x) 0, g( 3) 0 ,求不等式f(x)g(x) 0的解集
变式：设f(x)、g(x)分别是定义在 R上的奇函数、偶函数，当x 0时，f'(x)g(x) f (x)g'(x) 0，g( 3) 0，
求不等式f (x)g(x) 0的解集•
(x)、g(x)满足丄凶 ax，且f'(x)g(x) f (x)g'(x)，丄-⑴ 丄⑺ -，若有穷 g(x) g(i) g( 1) 2
f (n) * 、 31
数列 (n N )的前n项和等于一，则n等于
g(n) 32
变式：已知定义在 R上的函数f(x)、g(x)满足f(x) ax，且f'(x)g(x) f(x)g'(x)，若若f(1) f( 1) 5 ,
g(x) g(i) g( 1) 2
求关于x的不等式log a X 1的解集•
(x)的导函数为f '(x)，当x 0时，f'(x) f(x) 0，若
x
1 1 1
a §f(2)，b 2f ( 2),c In f(ln 2)，则关于 a,b,c的大小关系是
(x)为定义在R上的可导奇函数，且f(x) f '(x)对于任意x R恒成立，且f( 3)=e,则f (x) /eAx<1 的解集为
1
变式：设f(x)是R上的可导函数，且 f'(x) f(x) , f(0) 1 , f(2) ； •求f(1)的值•
e
例5•设函数f (x)在R上的导函数为f'(x)，且2f(x) xf '(x) x2,
变式：已知f (x)的导函数为f'(x)，当x 0时，2f (x) xf '(x)，且f(1) 1，若存在x R，使f (x) x2,
求x的值•
巩固练****br/>1・定义在R上的函数f (x)，其导函数f' x满足f' x 1，且f 2 3，则关于x的不等式f x x 1的解集
为 ▲
2. 已知定义在 R上的可导函数 y f (x)的导函数为 f/(x)，满足f/(x) f (x)，且y f(x 1)为偶函数，
f (2) 1,则不等式f (x) ex的解集为 ▲
3. 设f (x)和g (x)分别是f (x)和g(x)的导函数，若f (x)g (x) 0在区间|上恒成立，则称f (x)和g(x)在区间|
上单调性相反•若函数f(x) -x3 2ax与g(x) x2 2bx在开区间(a,b)上单调性相反f a 0 )，贝U b a的最大
3
值为 ▲
4. 设函数f (x)在R上存在导数f (x)，对任意的x R有f( x) f(x) x2，且在0, 上，f (x) X.,若
f (2 a) f (a) 2 2a,则实数a的取值范围为一▲ ；
一些常见的导数小题
f(x) x3 bx2 cx d ( b、c、
d为常数)，当x (0,1)时取极大值，当x (1,2)时取极小值，则
1 2 2
(b )2 (c 3)2的取值范围是( )
2
A.(r,5) B. (j,5)