文档介绍：数列的通项公式:是一个数列的第 n项(即 a n)与项数 n之间的函数关系注: ①有的数列没有通项公式, 如: 3,π,e,6;②有的数列有多个通项公式,如: ???n a n n cos 1???下面谈一谈数列通项公式的常用求法: 一、观察法(又叫猜想法,不完全归纳法): 观察数列中各项与其序号间的关系,分解各项中的变化部分与不变部分,再探索各项中变化部分与序号间的关系,从而归纳出构成规律写出通项公式解:变形为: 10 1-1, 10 2―1, 10 3―1, 10 4―1,……∴通项公式为: 例1:数列 9, 99 , 999 , 9999 ,…… 110?? nna 3,5,9, 17 , 33 ,……通项公式解:变形为: 2 1 +1 ,2 2 +1 ,2 3 +1 , 2 4 +1 ,2 5 +1 ,……∴通项公式为: 12?? nna可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。注意:用不完全归纳法,只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的,如 2,4,8,……。可归纳成或者两个不同的数列( 便不同) nna2? 2 2???nna n 4a (1)若 f(n )为常数,即: a n+1 -a n =d, 此时数列为等差数列,则 a n =a 1 +(n-1)d (2)若 f(n )为n的函数时,: 由a n+1 =a n +f(n )得:当 n>1 时,有 a n =a n-1 + f(n-1) a n-1 =a n-2 + f(n-2) ………………… a 3 = a 2 + f(2) a 2 = a 1 + f (1) 所以各式相加得 a n -a 1 =f(n-1)+ f(n-2)+ …+ f(2)+ f(1) . 一般地,对于型如 a n+1 =a n +f(n )的通项公式, 只要 f(n )能进行求和,则宜采用此方法求解。二. 叠加法 111 ( ) nnk a a f k ??? ??(也称累加法) 即当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列时,就可用累加法进行消元例2,求数列: 1,3,6, 10 , 15 , 21 ,……的通项公式 a n解: …… 2 12??aa3 23??aanaa nn???14 34??aa∴两边相加得: n aa n??????? 432 1)1(2 1??nna n∴练****已知数列{a n}中,a 1 =1,a n+1 -a n =2 n -n, 求数列{a n}的通项公式。解: a n - a n-1 = 2 n-1 - (n-1) a n-1 - a n-2 = 2 n-2 - (n-2) ………… a 3 - a 2 =2 2 - 2 a 2 - a 1 = 2 1 - 1 各式相加得, a n =a 1 + (2 n-1 +2 n-2+…+2 2 +2 1) -[(n-1) +(n-2)+ …+2+1] =1+( 2 n -2)- n(n-1)/2 = 2 n - n(n-1)/2 – 1 当 n=1 时, a1=2-0 -1=1 ,故, a n = 2 n _ n(n-1)/2 - 1 已知,a 1 =a , a n+1 =a n +f(n ),其中 f(n )可以是关于 n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数, 求通项.①若 f(n )是关于 n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;②若 f(n )是关于 n的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n )是关于 n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;④若 f(n )是关于 n的分式函数,累加后可裂项求和。备注: (1)当 f(n )为常数,即: (其中 q是不为 0的数) , 此时,数列为等比数列, a n =a 1·q n-1. (2)当 f(n )为n的函数时,用累乘法. 由得 n>1 时, , : a n+1 = f(n) ·a n类的通项公式,当 f(1) · f(2) ·…· f(n )的值可以求得时,宜采用此方法。 1nnaqa ??(也称累乘法、累积法) 1 ( ) nna f n a ?? 1 ( 1) nna f n a ?? ? 121 1 2 1 n n n n n a a a a a a a