文档介绍：. .
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矩阵的合同变换
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，根本交换。在?高等代数?里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多一样性质和联系。
关键词：矩阵秩合同对角化
定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，那么积A与B等价，记为
定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得，那么称A和B相似
定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得
那么就说，在数域F上B与A合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换
证明：仅证合同变换，相似变换完全相似
因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即。
此时边为一系列初等矩阵的乘积
假设那么B由A经过一系列初等变换得到。所以，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩
证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩
定理3：相似矩阵有一样特征多项式
证明：共
又因为为对称矩阵
所以
注①合同不一定有一样特征多项式
定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有一样特征根，那么A与B相似且合同
论：设A，B为特征根均为，因为A与B实对称矩阵，所以那么在n阶正矩阵，使得
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从而有
由
从而有
从而
又由于
为正交矩阵
所以且
定时5：两合同矩阵，假设即，假设A为对称矩阵，那么B为对称阵，而两相似矩阵那么不一定有些性质
证明：即，假设对称阵，那么
所以B边为对称阵
[注]：相似矩阵对此结论不具有一般性，它在什么情况下成立呢？
引理6：对称矩阵相似于对角阵A的每一个特征根有秩，S为的重数.
证明：任给对称的n阶矩阵A一个特征根，以其重数以秩，那么
，线性无关的解向量个数为个，即5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量
n阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，
如对二次型应用
例求一非线性替换，把二次型
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二次型矩阵为
对A一样列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换
可把二次型化为标准型
解法〔2〕
此时
此时非线性退化替换为
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