文档介绍：实对称矩阵与相似(xiānɡ sì)对角阵
第一页，共25页。
于是(yúshì)
即
故
即 与 正交.
证毕
故
=
=
=
=
(2) 实对称(duìchèn)矩阵对应于不同特征值的
特征向量必相互正交；
第1页/共25页
第二页，共25页。
此定理(dìnglǐ)不予证明
(2) 实对称(duìchèn)矩阵对应于不同特征值的
特征向量必相互正交；
(1) 实对称矩阵(jǔ zhèn)的特征值一定为实数；
【 】
第2页/共25页
第三页，共25页。
1。定义(107页) 如果n阶实方阵A满足(mǎnzú)ATA= E， AAT= E则称 A为 正交矩阵.
A的行（列）向量(xiàngliàng)组都是单位向量(xiàngliàng)且两两正交.
二、实对称(duìchèn)矩阵的正交相似对角化
复****br/>第3页/共25页
第四页，共25页。
2. 正交矩阵(jǔ zhèn)的性质
(1) 将线性无关(wúguān)的向量组1，2，…，r正交化.
令 1=1，
2 =2- 1 ，
3 =3- 1 - 2，
… … … … … … … ，
r =r- 1 - 2 - …- r-1.
(2) 将1，2，…，r单位(dānwèi)化，令
1= ，2= ，…， r= .
2、 将线性无关的向量组1，2，…，r化为一组两两正交的单位向量组的方法。施密特(Schmidt) 方法 （108页 ）
第4页/共25页
第五页，共25页。
【定理(dìnglǐ) 】
设A为 n 阶实对称(duìchèn)矩阵，
n 阶正交矩阵(jǔ zhèn)P，
则必存在
使得
其中 是A的 n个特征值.
第5页/共25页
第六页，共25页。
【证】
设A的所有(suǒyǒu)互不相等的特征值为
它们的重数(zhònɡ shù)依次是
想？它们(tā men)的和等于多少？
由对称矩阵的特征值的性质可知
对应于特征值
恰有 个线性无关的特征向量，
把它们标准正交化
即得 个标准正交的 特征向量.
由
知这样的特征向量共可得 n 个..
(2)知
这 n 个单位特征向量两两正交,
于是以它们为列向量
构成正交矩阵 P,
得
证毕
第6页/共25页
第七页，共25页。
【定理(dìnglǐ) 】
设A为 n 阶实对称(duìchèn)矩阵，
n 阶正交矩阵(jǔ zhèn)P，
则必存在
使得
其中 是A的 n个特征值.
有此可见，实对称矩阵A一定可以对角化，与之相似的对角阵的对角元素就是A的特征值，而正交矩阵P是其对应的两两正交的单位特征向量所组成。
第7页/共25页
第八页，共25页。
下面(xià mian), 给出求正交矩阵P 的步骤
1、求实对称矩阵(jǔ zhèn)A的全部特征值,即求解特征方程
的全部(quánbù)根；
2、将每一个特征值分别代入
求出基础解系；将基础解系正交单位化
3、作正交矩阵P
4、
事实上,做完这一步,就已经求出A的相似对角阵.
第8页/共25页
第九页，共25页。
例题(lìtí)分析
例2
设
求一个(yī ɡè)正交矩阵P
使 为对角阵.
解
(1)求特征值
故得特征值
注意：可看出(kàn chū)，实对称矩阵的特征值为实数
第9页/共25页
第十页，共25页。