文档介绍：School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology 陈德鹏安徽工业大学安徽工业大学弹性力学徐芝纶《弹性力学简明教程(第三版) 》 Chapter 4 of 9 School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology 第四章平面问题的极坐标解答?极坐标中的平衡微分方程?极坐标中的几何方程及物理方程?极坐标中的应力函数与相容方程?应力分量的坐标变换式?轴对称应力和相应的位移?圆环或圆筒受均布压力 School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology 区别:直角坐标中,x和y坐标线都是直线,有固定的方向,x和y的量纲均为 L。极坐标中, 坐标线( = 常数)和坐标线( = 常数)在不同点有不同的方向; 相同:两者都是正交坐标系。??直角坐标(x,y)与极坐标比较: ),(????直角坐标与极坐标 School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology 坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的量纲为 L, 的量纲为 1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形,弧形,扇形及由径向线和环向围成的物体,宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单,使边界条件简化。????极坐标在A内任一点( ,)取出一个微分体, 考虑其平衡条件。??微分体─由夹角为的两径向线和距离为的两环向线围成。φdρd School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology 两面不平行, 夹角为; 两面面积不等, 分别为, 极坐标中的平衡微分方程φρd??φρρdd?从原点出发为正, 从x轴向 y 轴方向转向为正。????φd?随着坐标的变化,微分体不同面上应力变化 School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology 微分体上的作用力有: 体力—,以坐标正向为正。应力—面, 面分别表示应力及其增量。应力同样以正面正向,负面负向的应力为正,反之为负。φρff,φρ??极坐标中的平衡微分方程——作用力 School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology 考虑通过微分体形心 C的向,列出三个平衡条件: 应用假定:(1)连续性,( 2)小变形。??,,0???F,0???F。 0?? cM 平衡条件极坐标中的平衡微分方程——平衡条件 School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology ,0 2 cos 2 cos )(2 sin 2 sin )() )((???????????????????????????????????????????????????????????? ddf dd ddd dd dddddd其中可取,12 cos ??d 而,22 sin ??dd?通过形心 C的向合力为 0, 0??ρF ρ极坐标中的平衡微分方程——平衡条件 School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology 上式中一阶微量相互抵消,保留到二阶微量,再除以,得)(0 1af。???????????????????????式(a)中第一、二、四项与直角坐标的方向相似; 而极坐标中的平衡微分方程——平衡条件—是由于面面积大于面面积而引起的ρ?ρ?ρσρρσφ?—是由于面上的在C点的向有投影。?φ???ρddρ? School of Architectural and Civil Engineering Anhui University of Technology ,02 sin 2 sin )( ) )(( 2 cos 2 cos )(???????????????????????????????????????????????????????????????ddf dd ddd dddd dd dd 略去三阶微量,保留到二阶微量,得)(0 21