文档介绍：第十一章山东交通学院高等数学教研室山东交通学院高等数学教研室第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法目录上页下页返回结束高等数学 Ox y z 引例: 设曲面形构件具有连续面密度),,,(zyx?类似求平面薄片质量的思想, 采用??, , i i i i S ?????可得 1 ni?? 0 lim ???M ( , , ) i i i ? ??求质“分割,近似,求和,取极限”的方法,?, ?表示 n小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 最大值一、对面积的曲面积分的概念与性质目录上页下页返回结束高等数学( , , )d Σ M x y z S ????定义: 设?为光滑曲面,“乘积和式极限”??, , i i i i f S ? ??? 1 ni?? 0 lim ??都存在,的曲面积分( , , )d f x y z S ???其中 f ( x, y, z ) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为表曲面面积 dS ??? f ( x, y, z ) 是定义在?上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分. 若对?做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在曲面?上对面积函数, ?叫做积分曲面. S?目录上页下页返回结束高等数学则对面积的曲面积分存在.?对积分域的可加性.,, 21??则有( , , ) d f x y z S ???? 1 ( , , ) d f x y z S ??? 2 ( , , ) d f x y z S ?????? 1 2 ( , , ) ( , , ) d k f x y z k g x y z S ?????,, 21kk 1 2 ( , , ) d ( , , ) d k f x y z S k g x y z S ? ?? ??? ??),,(zyxf若在光滑曲面?上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似?积分的存在性. 若?是分片光滑的, 例如分成两片光滑曲面目录上页下页返回结束高等数学 Ox y z 定理:设有光滑曲面????: , , , xy z z x y x y D ? ? ? f ( x, y, z ) 在?上连续,存在, 且有( , , ) d f x y z S ???( , , ) xyD f x y ???( , , ) d f x y z S ???),(yxz???? 2 2 1 , , d d x y z x y z x y x y ? ?二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分 yxD ?目录上页下页返回结束高等数学准备工作: ?做出积分曲面??, x y z z ?求出方程,分别求 2 2 1 x y z z ? ? xyD?并求出?求出在 xoy 面的投影???? 2 2 , , , 1 ( , ) ( , ) d d xy x y D f x y z x y z x y z x y x y ? ???转化为目录上页下页返回结束高等数学 yxD d, Sz ???其中?是球面 222zyx??被平面)0(ahhz???截出的顶部. 解:yxDyxyxaz????),(,: 222? 2222:hayxD yx??? 221 yxzz?? 222yxa a??? dSz ??????π20d?a ?? 2 2 2 2 12 π ln 20 a h a a ??? ?? ??? ?? ? 2 π ln aah ? 2 2 2 d d xyD a x y a x y ?? ??? 2 2 2 2 0d a h a ? ????? 2a??x zy ha O d , xyz S ????其中?是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设上的部分