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个人收集整理仅供参考学****br/>日照实给高,一 2007 —求海■二-概率
3. 1离散型随机变量地数学期望
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学****笔记
学****目标:
1： 了解离散型随机变量地期望地意义，会根据离散型随机变量地分布列求出 均
值或期望.
2：理解公式“E (a E +b) =aEE +b",以及"若 E : B (n,p ),贝U EE =np".能
熟练地应用它们求相应地离散型随机变量地 均值或期望.
学****重点、难点： 离散型随机变量地 均值或期望地概念.；根据离散型随机变量地
分布列求出均值或期望.
自主学****br/>一、知识再现：
.随机变量：如果随机试验地结果可以用一个变量来表示，那么这样地变量
］等表示 .
.离散型随机变量：对于随机变量可能取地值，可以按一定次序一一列出，
这样地随机变量叫做离散型随机变量 .
.分布列：设离散型随机变量 上 可能取得值为x1, x2,…，x3,…，
I取每一个值Xi (i=1, 2,…)地概率为 p( xi) pi,则称表
X1
X2
…
Xi
…
P
P1
P2
…
P
…
为随机变量E地概率分布，简称 E地分布列.
.分布列地两个性质： ⑴P>0, i =1, 2,…；⑵P1+P2+…=1.
.离散型随机变量地二项分布 ：在一次随机试验中，某事件可能发生也可
能不发生，在 n次独立重复试验中这个事件发生地次数
果在一次试验中某事彳发生地概率是 P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰
好发生k次地概率是
Pn( k) C：pkqnk, (k=0,1,2,…,n, q 1 p).
于是得到随机变量E地概率分布如下：
±0 1 … k … n
0 0 n —1 1 n 1 -k k n k n n 0
P Cn p q Cnp q … Cn p q … Cnp q
称这样地随机变量 七 服从二项分布，记作 己〜B(n, p),其中n, p为参
数，并记 C：pkqnk=b(k; n, p).
.离散型随机变量地几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生
时，所作试验地次数 E也是一个正整数地离散型随机变量.“ k”表示在
第k次独立重复试验时事件第一次发生 .如果把k次试验时事件 A发生记为Ak、
事彳A不发生记为 Ak , P( Ak尸p , P( Ak )=q(q=1-p),那么
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k 1
(k=0,1,2,…，q
1 p) .于是得到随机变量
E地概率分布如下
1 2 3 •••
k -
P 称这样地随机变量
p pq q2p …
E服从几何分布,
k 1
q p
记作 g(k, p)=
qk 1 p ,其中 k = 0,1,2,…，q
1 p .
P( k) P(A1A2A3L Ak1Ak) P(A)P(A2)P(A)L P(Ak1)P(Ak) q p
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、新课探究:
根据已知随机变量地分布列，我们可以方便地得出随机变量地某些制定地
概率，但分布列地用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数 E地分布列
如下
8 9 10
E 4 5 6 7
P
在n次射击之前，可以根据这个分布列估计 们今天要学****地离散型随机变量地 均值或期望.
根据射手射击所得环数 E地分布列，
我们可以估计，在 n次射击中，预计大约有
P( 4) n 次得 4 环；
P( 5) n 次得 5环；
P( 10) n 次得 10 环.
故在n次射击地总环数大约为 4 n 5 n 10 n
(4 5 10 ) n ,
从而， 预计 n 次射击地平均环数约为
4 5 10 .
这是一个由射手射击所得环数地分布列得到地，只与射击环数地可能取值及 其相应地概率有关地常数，它反映了射手射击地平均水平.
对于任一射手，若已知其射击所得环数 E地分布列，即已知各个 P( i)
(i=0, 1, 2,…，10),我们可以同样预计他任意 n次射击地平均环数：
0 P( 0) 1 P( 1)…10 P( 10).
X1
X2
…
Xn
…
P
P1
P2
…
Pn
…
：一般地，若离散型随机变量 E地概率分布为
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