文档介绍：1 概率算法(简述) 2 2 ?学****要点?理解产生伪随机数的算法?掌握数值概率算法的设计思想?掌握蒙特卡罗算法的设计思想?掌握拉斯维加斯算法的设计思想?掌握舍伍德算法的设计思想 3 3随机数随机数在概率算法设计中扮演着十分重要的角色。在现实计算机上无法产生真正的随机数,因此在概率算法中使用的随机数都是一定程度上随机的,即伪随机数。线性同余法是产生伪随机数的最常用的方法。由线性同余法产生的随机序列 a0,a1, …,an 满足?????????,2,1 mod )( 1 0nmc ba a da nn其中 b?0,c?0,d?m。d称为该随机序列的种子。如何选取该方法中的常数 b、c和m直接关系到所产生的随机序列的随机性能。这是随机性理论研究的内容,已超出本书讨论的范围。从直观上看, m应取得充分大,因此可取 m为机器大数,另外应取 gcd(m,b)=1 ,因此可取 b为一素数。 4 数值概率算法 5 5用随机投点法计算?值设有一半径为 r的圆及其外切四边形。向该正方形随机地投掷 n个点。设落入圆内的点数为 k。由于所投入的点在正方形上均匀分布,因而所投入的点落入圆内的概率为。所以当 n足够大时, k与n之比就逼近这一概率。从而 44 2 2???r rn k4?? double Darts(int n) { // 用随机投点法计算?值 static RandomNumber dart; int k=0; for (int i=1;i <=n;i++) { double x=(); double y=(); if ((x * x+y * y)<=1) k++; } return 4 * k/double(n); } 6 6计算定积分设 f(x) 是[0,1]上的连续函数,且 0? f(x) ?1。需要计算的积分为 , 积分 I等于图中的面积 G。?? 10)( dxxfI在图所示单位正方形内均匀地作投点试验,则随机点落在曲线下面的概率为假设向单位正方形内随机地投入 n个点(xi,yi) 。如果有 m个点落入 G内,则随机点落入 G内的概率?????? 10 )(0 10)( )}({ xfrdxxf dydx xfyPn m?I 7 7解非线性方程组求解下面的非线性方程组??????????0),,,( 0),,,( 0),,,( 21 212 211nn n nxxxf xxxf xxxf???????????其中, x1,x2, …,xn 是实变量, fi是未知量 x1,x2, …,xn 的非线性实函数。要求确定上述方程组在指定求根范围内的一组解**2 *1,,, nxxx?在指定求根区域 D内,选定一个随机点 x0作为随机搜索的出发点。在算法的搜索过程中,假设第 j步随机搜索得到的随机搜索点为 xj。在第 j+1 步,计算出下一步的随机搜索增量?xj。从当前点 xj依?xj得到第 j+1 步的随机搜索点。当 x< ?时,取为所求非线性方程组的近似解。否则进行下一步新的随机搜索过程。 8 8舍伍德(Sherwood) 算法设A是一个确定性算法,当它的输入实例为 x时所需的计算时间记为 tA(x) 。设 Xn 是算法 A的输入规模为 n的实例的全体,则当问题的输入规模为 n时,算法 A所需的平均时间为??? nXx nA AXxtnt||/)()(这显然不能排除存在 x∈ Xn 使得的可能性。希望获得一个概率算法 B,使得对问题的输入规模为 n的每一个实例均有这就是舍伍德算法设计的基本思想。当 s(n) 与 tA(n) 相比可忽略时,舍伍德算法可获得很好的平均性能。)()(ntxt AA ??)()()(nsntxt AB??9 9舍伍德(Sherwood) 算法复****学过的 Sherwood 算法: (1)线性时间选择算法(2)快速排序算法有时也会遇到这样的情况,即所给的确定性算法无法直接改造成舍伍德型算法。此时可借助于随机预处理技术,不改变原有的确定性算法,仅对其输入进行随机洗牌,同样可收到舍伍德算法的效果。例如,对于确定性选择算法,可以用下面的洗牌算法 shuffle 将数组 a中元素随机排列,然后用确定性选择算法求解。这样做所收到的效果与舍伍德型算法的效果是一样的。 template<class Type> void Shuffle(Type a[], int n) {// 随机洗牌算法 static RandomNumber rnd; for (int i=0;i<n;i++) { int j=(n-i)+i; Swa