文档介绍：第6章数值积分引言?使用牛顿-莱布尼茨公式求积分, , 原函数很难求. 例如: 下列积分都不能通过解析的方法来求解. 必须使用数值的方法去计算这些积分. ( ) ( ) ( ) ba f x dx F b F a ? ?? 2 1 sin , , , ln b b b x a a a x dx dx e dx x x ?? ?? F (x)是 f (x)的原函数 f (x)是被积函数?矩形公式依积分中值定理知, 有??[a, b] , 使故, 只要对平均高度 f (?) 给出一种算法, 可得积分值的一种算法. ?梯形公式若用[ f (a ) + f (b ) ] / 2 作为平均高度 f (?) 的近似值, 可导出梯形公式: ( ) ( ) ( ) ba f x dx b a f ?? ??曲边梯形的面积等于矩形的面积! [ ( ) ( )]. () 2 b a T f a f b ?? ?梯形公式示意图 求积公式及其代数精度一、数值求积公式式中{x 0, ,x 1, ?, x n } 叫求积节点, 它们满足 a ?x 0 ?x 1 ???x n?b, A k叫做求积系数,它与被积函数无关. 用求积公式() 计算积分近似值 I n,任务是确定节点与求积系数 A k. 二、截断误差(余项) 0 ( ) ( ) () bn k k n ka I f x dx A f x I ?? ???? 0 ( ) ( ) bn k n k k ka R I I f x dx A f x ?? ?? ??? I n 积分近似值 I 积分精确值 R n 三、 m次代数精度定义若求积公式() 满足: 当 f (x ) 为任何次数不高于 m 的多项式时, () 都成为等式; 对某个 m +1 次多项式, 式() 不能成为等式, 则称此求积公式有 m 次代数精度. 四、判别求积公式代数精度的方法若当 f ?x ) 分别为 1, ,x 1, ?, x m时, 求积公式() 都成为等式, 则当 f ?x ) 为任何次数不高于 m 的多项式时, R n来解释: 0][ ),,1,0(,0][ 1????mn knxR nkxR? 0 0 0 1 , , ... , . b b b m m m m m k k k k k k k k a a a dx A xdx A x x dx A x ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?若 0 1 ( ) mm f x a a x a x ? ????又?? 0 1 0 1 ( )1 b b mm a a b b b mm a a a f x dx a a x a x dx a dx a xdx a x dx ? ???? ???? ?? ? ???则 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ( ) ( ). m m m m k k k m k k k k k m m m k k m k k k k k a A a A x a A x A a a x a x A f x