文档介绍：「必修二」高中数学必备知识点：
圆的一般方程
二元二次方程/ + *2 + Ox+Ey + F = 0表示的图形
(1) 变形：把方程x2 + y2 + Dx+Ey+F = 0配方可得(x +
D、2 . E \ 2 D2+E2-4F
2) + f =~^—
(2) 结论：①当D2 + E2-4F>0fft,表示以(-?,一?)为圆 心，以捉以+砂一4尸为半径的圆。
(_ D
I X =一 —
当D2 + E2-4F = 0时，方程只有一组解 ［表示一个点
(y=-2
(-?,-§)
2 2
当D2 + E2 -4F< 0时，称二元二次方程x2 + y2 + Dx +
Ey + F = 0为圆的一般方程
圆的一般方程和标准方程的区别及联系
圆的标准方程明确地表示了圆的圆心和半径，而一般方程则 表现出了明显的代数结构形式，经过一定
代数运算才可以求出圆心和半径
二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式 即得一般方程。将圆的一般方程配方后即得标准方程
小练****br/>判断题
(1)二元二次方程尸+y2 + Dx + Ey + F = 0 —定是某个圆的方程
()
圆x2 + y2 + ax - 2ay = 0 过原点()
圆x2+y2-Dx-Ey + F = 0 的圆心是(一?，一?)() 答案：(1) X (2) V (3) X
解析：
当D2 + E2 - 4F=0 方程只有一组解，方程表示的是一个点, 而非圆。
将原点(0,0)代入，方程等式成立。则该命题正确。
将方程配方可得(x ―^) +白―— —牛+F = O 圆心坐标缁
乙 £
圆的一般方程的理解
判断方程F +y2 - 4mx + 2my + 20m - 20 = 0能否表示圆，若能 表示圆，求出圆心和半径。
解：(法一)：由方程x2 + y2 - 4mx 4- 2my 4- 20m -20 = 0
可知 D=-4m, E=2m, F=20m-20,
.'.D2 + E2 - 4F=16m2 + 4m2 - 80m + 80
, 、2
=20 (m — 2)
因此，当m=2时，他表示一个点；
当m 2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m, -m),
半径 r=iVD2 + E2-4F=V5 | m-2 | 2
法二：原方程可化为(x - 2m) 2 + (y + m) 2 = 5 (m-2)2
因此，当m=2时，它表示一个点；
当mw2时，表示圆的方程。
此时，圆心(2m, -m),半径r=V5 | m-2 |
解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特 征，即：
尸初2的系数是否相等
不含xy项
当它具有圆的一般方程的特征时，再看冷+砂_ 4F > 0是否成立， 也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数。
若方程F +必+ 2mx - 2y + m2 + 5m = 0表示圆，求：
实数m的取值范围
圆心坐标和半径
解：(1)据题意知。之 + 曰 一 4/7 =(2m)2 + (- 2)2 - 4(m2 + 5m) >
0,即 4m2 4- 4 - 4m2 - 20m > 0,解得
m < |,故m的