文档介绍：矩阵的合同与相似及其等价条件汇总
矩阵的合同与相似及其等价条件汇总
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矩阵的合同与相似及其等价条件汇总
矩阵的相似与合同及其等价条件研究
（数学与统计学院 09 级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶
引言
矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学<br****中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用 [1-10] ，起着非常重要的作用，
能够把要处理的问题简单化 [9] ，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对
其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学****有一定的帮助 .
矩阵的等价与相似及其合同的基本概念
矩阵等价的定义 [1]
定义如果矩阵 A 可以有矩阵 B 经过有限次初等变换得到，称 A 与 B 是等价
的 .
由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：
定义如果 n 阶矩阵 A 可以由 n 阶矩阵 B 进过有限次初等变换得到，则称 A 与 B 是等价的 .
根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描
述：
定义
设矩阵 A , B 为 n 阶矩阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 P 和 Q , 使得 PAQ B ,
则称矩阵 A与 B 等价，记作 A∽ B .
矩阵相似的定义 [2]
定义
设矩阵 A ， B 为 n 阶矩阵，如果存在一个是
n 阶可逆矩阵 P，使得
P 1AP
B,则称矩阵 A与矩阵 B相似，记作 A～ B.

n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质
[3] :
性质
反身性，即任一 n 阶矩阵 A 与自身相似 .
性质
对称性，即如果 A～B，则 B～ A.
性质
传递性，如果 A～B，B～C，则 A～C.
性质
P 1 (k1 A1 k 2 A2 ) P k1 P 1 AP
k2 A2 P .（
是任意常数）
k1 , k2
1
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宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究
性质
P 1(A1A2 )P (P 1A1P)(P 1 A2P) .
性质
若矩阵 A 与矩阵 B 相似，则 Am 与 Bm 相似 .
（ m 为正整数）
存在一个可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP
B ，那么
m
B m
P 1 Am P ，故
证明
P 1AP
可以得到 Am 与相 Bm 相似 .
性质
如果矩阵 A、B都是满秩，则 A～B，那么 B 1～ A 1.
证明
存在一个可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP
B ，那么
P 1AP
1
B 1
P 1A 1P，
故可以得到 B
1～A1.
性质
如果矩阵 A～B，那么 A B .
证明
存在一个可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP
B ，又因为 P 1AP
B，P 1P 1，
故可以得到 A
B .
性质
相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆 . 并且当它们都可逆时候，它们的
逆矩阵也相似 .
证明
设B P 1AP ，若矩阵 B可逆， B 1
P 1AP
1
1P，从而 B 1和 A 1
P 1 A
也相似 .
若 B 不可逆，则 P 1 AP 不可逆，即 A 也不可逆 . 性质相似矩阵有相同的特征值 .
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证明设B P1AP， E B P
P

1
1

EP P 1AP
E A P
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E A
故矩阵 A 的特征值与矩阵 B 有相同的特征值 .
性质相