文档介绍：一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分 二重积分一、引例二重积分三、二重积分的性质一、引例二、二重积分的定义与可积性四、二重积分的计算解法:类似定积分解决问题的思想: 一、引例 :0),(??yxfz 底: xoy 面上的闭区域 D 顶:连续曲面侧面: 以D的边界为准线, 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“分割, 近似替代, 求和, 取极限” D),(yxfz? D),(yxfz? 1)“分割”用任意曲线网分 D为n 个区域 n??????,,, 21?以它们为底把曲顶柱体 2)“近似替代”:平顶代替曲顶在每个 k??,),( kk?? 3)“求和”???? nk kVV 1???? nk kkkf 1),(???),( kkf??),,2,1(),(nkfV kkkk????????则中任取一点分为 n个小曲顶柱体 k??),( kk?? 4)“取极限”的直径为定义 k???? kk,PPPP??????? 2121 max )( 令??)( max 1 knk???????????? nk kkkfV 1 0),( lim ????),(yxfz?),( kkf?? k??),( kk?? 2. 平面薄片的质量有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,,),(Cyx??计算该薄片的质量 M . 度为),(),(常数若???yx 设 D 的面积为?, 则????M 若),(yx?非常数, 仍可用其面密“分割, 近似替代, 求和, 取极限”)“分割”用任意曲线网分 D 为n 个小区域,,,, 21n??????? yx 2)“近似替代”中任取一点 k??在每个),,( kk?? 3)“求和”???? nk kMM 1???? nk kkk1),(???? 4)“取极限”??)( max 1 knk???????令????? nk kkkM 1 0),( lim ?????k??),( kk??),,2,1(),(nkM kkkk?????????则第 k 小块的质量 yx 两个问题的共性: (1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“分割, 近似替代, 求和,取极限”????? nk kkkfV 1 0),( lim ????????? nk kkkM 1 0),( lim ?????曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 二、二重积分的定义及可积性定义:),(yxf设将区域 D任意分成 n个小区域),,,2,1(nk k????任取一点,),( kkk?????若存在一个常数 I , 使????? nk kkkfI 1 0),( lim ????可积, ),(yxf则称( , ) d D f x y ???),( yx, 积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数, ( , ) d D f x y ???( , ) d D V f x y ????引例 1中曲顶柱体体积: ( , ) d D M x y ? ????引例 2中平面薄板的质量: 如果在D上可积,),(yxf 也常?d,ddyx 二重积分记作, kkkyx?????这时分区域 D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作( , ) d d D f x y x y ???( , ) d d D x y x y ????( , ) d d D f x y x y ??