文档介绍：第七章第七章线性变换线性变换§ §2 2 线性变换的运算线性变换的运算§ §3 3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵§ §4 4 特征值与特征向量特征值与特征向量§ §1 1线性变换的定义线性变换的定义§ §6 6线性变换的值域与核线性变换的值域与核§ §7 7不变子空间不变子空间§ §5 5 对角矩阵对角矩阵主要内容主要内容可对角化的条件可对角化的条件第第五五节节对对角角矩矩阵阵矩阵与对角阵相似的条件矩阵与对角阵相似的条件可对角化的步骤可对角化的步骤可对角化的概念可对角化的概念定义 1 设A是维线性空间 V的一个线性变换, n 如果存在 V的一个基,使 A在这组基下的矩阵为对角矩阵,则称线性变换 A可对角化. 矩阵,则称矩阵 A可对角化. 定义 2 矩阵 A是数域上的一个级方阵. 如果 P nP 存在一个上的级可逆矩阵,使为对角 1 X AX ?X n 一、可对角化的概念一、可对角化的概念二、线性变换可对角化的充分必要条件二、线性变换可对角化的充分必要条件定理定理 1 1 设设A A 是是n n维线性空间维线性空间 V V的一个线性的一个线性变换, 变换, A A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是, 充分必要条件是, A A 有有n n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. . (线性变换在基下的矩阵为对角阵的充分必要条件) (线性变换在基下的矩阵为对角阵的充分必要条件) 例例1 1 设线性变换 A 在基? 1 , ? 2 , ? 3下的矩阵为???????????????201 335 212A问是否存在一组基,使 A 在这组基下的矩阵为对形?若存在,求出这组基. 证明证明设A 在基? 1 , ? 2 , …, ? n下具有对角矩阵?????????????? n???O 2 1即A ? i = ? i? i , i = 1 , 2 , …, n . 因此, ? 1 , ? 2 , …, ? n 就是 A 的n个线性无关的特征向量. 反过来,如果 A 有 n 个线性无关的特征向量? 1 , ? 2 , …, ? n ,那么就取? 1 , ? 2 , …, ? n 为基,显然在这组基下 A 2 2 属于属于 A A 不同特征值的特征向量是线性不同特征值的特征向量是线性无关的无关的. .证明证明对特征值的个数作数学归纳法. 由于特征向量是不为零的, k个不同特征值的特征向量线性无关,我们证明属于 k + 1 个不同的特征值? 1, ? 2, …, ? k+ 1的特征向量? 1 , ? 2 , …, ? k+ 1也线性无关. 假设有关系式 a 1? 1 + a 2? 2 + … + a k? k + a k+ 1? k+ 1 = 0 成立. 等式两端乘以? k+ 1,得 a 1? k+ 1? 1 + a 2? k+ 1? 2 +…+ a k? k+ 1? k + a k+ 1? k+ 1? k+ 1 = 0 第一式两端同时施行变换 A ,得 a 1? 1? 1 + a 2? 2? 2 +…+ a k? k? k + a k+ 1? k+ 1? k+ 1 = 0 第三式减去第二式得 a 1(? 1 - ? k+ 1)? 1 + … + a k(? k - ? k+ 1)? k = 0 .