文档介绍：第三章_曲线拟合算法的研究汇总
第三章_曲线拟合算法的研究汇总
1 / 17
第三章_曲线拟合算法的研究汇总
第三章 曲线拟合算法的研究
引言
随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为
形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要，自
动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线
的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。
圆锥曲线拟合算法的研究
在经济型数控系统中， 对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到
的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应运而生 [26]。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆弧逼近，然后才能进行数控加工 [28] 。本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆
锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。这样的优点是：
圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到 C1 连续，基本上能满足要求；所有
数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。
由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑，有的要
求光顺 [9-10] 。本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求
光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。
本章提出的对圆锥曲线的插补， 是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础
上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利
用数控系统的圆弧插补功能进行插补。
圆锥曲线的一般理论 [9]
在平面直角坐标系中， 二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。 其中系数 A 、B 、
C、D、E、
F 为实常数，且
A、 B、C 不同时为零。
Ax 2
Bxy
Cy 2
Dx
Ey
F
0
()
式（ ）称为圆锥曲线的隐式方程。令
B 2
4AC
（）
称上式为二元二次方程（
）的判别式。
时，（）式为椭圆型曲线（包括圆、椭圆和虚椭圆） ；
0 时，（）式为抛物线型曲线（包括两平行直线和虚直线） ；
1
第三章_曲线拟合算法的研究汇总
第三章_曲线拟合算法的研究汇总
17 / 17
第三章_曲线拟合算法的研究汇总
时，（）式为双曲型曲线（包括两相交直线） 。
在不同的坐标系下，平面上一点的坐标、一条曲线的方程是不同的。通过利用坐标
变换（即坐标轴的平移和旋转） ，可以将一般二次曲线方程化成最简形式，借以确定曲
线的形状和位置。
一、坐标轴的平移
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和长度单位，这样的坐标变换叫做
坐标轴的平移，简称平移或移轴 。
将旧坐标系 oxy 平移到 o x y ,那么平面上任一点 M 在旧坐标系与新坐标系的坐标
(x, y) 和 ( x' , y' ) 具有关系：
x x x0
（）
y y y0
其中 (x0 , y0 ) 是新坐标系中的原点 o 在旧坐标系里的坐标。公式（ ）叫做平移变换公
式。
二、坐标轴的旋转
坐标原点的位置和长度单位都不改变，让坐标轴绕原点按同一方向旋转同一个角度，这种坐标变换叫做坐标轴的旋转，简称旋转或转轴。
把旧坐标系 oxy 绕原点 o 旋转同一个角度 到 o x y ，那么平面上的任一点 M 在旧坐
标系与新坐标系下的坐标 ( x, y) 和 ( x' , y' ) 之间具有关系：
x
x cos
y sin
y
x sin
（）
y cos
公式（ ）叫做旋转变换公式。
适当选择坐标系，二次曲线方程经过坐标系的旋转和平移变换，可简化成几种标准方程。
1．中心二次曲线方程可以简化成下面 5 种标准方程之一：
x 2
y2
1（椭圆）；
a)
2
b2
a
x 2
y2
1（虚椭圆）；
b)
2
b2
a
x 2
y 2
0（点椭圆或称变态椭圆） ；
c)
2
b2
a
第三章_曲线拟合算法的研究汇总
第三章_曲线拟合算法的研究汇总
3 / 17
第