文档介绍：会计学
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第五章相似矩阵
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3. 求一般(yībān)矩阵A的特征值的方法。
2. 对类似上述特殊矩阵，较容易直接得到方程(fāngchéng)
的解X和数 。
但对一般方阵A而言，
是绝大多数非零向量难以满足的方程(fāngchéng)，仅从矩阵A不容易直接看出它的特征值和特征向量。
将（）式变形(biàn xíng)为：
（）
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(tèzhēng)多项式
注： 是一个 次多项式，方程 在复数域内必有n个根，它们就是矩阵的全部特征值. 从而(cóng ér)n阶方阵在复数域内有n个特征值.
则齐次线性方程组（）有非零解的充要条件是
为了方便(fāngbiàn)起见，称 为矩阵A的特征多项式
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例 求下面(xià mian)矩阵A的特征值。
解
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(jǔ zhèn)的特征值和矩阵(jǔ zhèn)的关系
定理(dìnglǐ) 设n阶方阵 的n个特征值为：
则
证
（）
A的特征(tèzhēng)多项式可表示为：
(1）当 是的特征值时，
令
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的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积(chéngjī)是其中一项：
而行列式展开后，每项为取自于不同行不同列的 个元素乘积，展开式的其余项至多包含 个主对角线上元素. 因此，特征多项式中含 和 的项只能在主对角元素乘积这一项中出现(chūxiàn)，故应有：
（2）因为(yīn wèi)
将它与（）比较，即得
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求一般(yībān)矩阵A的特征值 后，求方程组（）的非零解，得到A的关于 的全部特征向量。
(yībān)矩阵A的对应特征值的特征向量的方法。
推论(tuīlùn) n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.
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例2 求下面(xià mian)矩阵A的特征值和特征向量。
解
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由 ，得
得解
因此，上式在 不同时(tóngshí)为0时，给出 A 关于
的全体特征向量 。
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此时 是A的二重根，它对应(duìyìng)有二个线性无关的特征向量：
给出A关于(guānyú) 的全体特征向量.
只对应(duìyìng)一个线性无关的特征向量
求解得
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