文档介绍：1第3节一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第18章 2 复面光滑曲线)(xfy?),( 00yx 切线方程 0yy?法线方程 0yy?若平面光滑曲线方程为,0),(?yxF),( ),(d dyxF yxFx y y x??故在点),( 00yx 切线方程法线方程)( 0yy?),( 00yxF y?)(),( 000xxyxF x?0?) )(( 00xxxf???)()( 1 00xxxf ????在点有有因0)(),( 000???yyyxF x),( 00yxF y)( 0xx? 3 一、空间曲线的切线与法平面过点 M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.? TM ?空间光滑曲线在点 4 (1)曲线方程为参数方程的情况???????????????tz ty tx???:z zzy yyx xx???????? 000,t?上述方程之分母同除以得令,0??t 切线方程 000zzyyxx?????),,( 0000zyxMtt对应设?),,( 0000zzyyxxMttt??????????对应)( 0t??)( 0t??)( 0t?? TM ?M ?:的方程割线 MM ?(两点式) 5) )(( 00xxt???此处要求)(,)(,)( 000ttt??????也是法平面的法向量, 切线的方向向量:称为曲线的切向量.)()( 00yyt????0) )(( 00????zzt?如个别为 0, 则理解为分子为 0 .??M 不全为 0, ))(,)(,)(( 000tttT???????T 因此得法平面方程说明:若引进向量函数))(,)(,)(()(ttttr????, 则?为 r (t ) 的矢端曲线, 0t而在处的导向量))(,)(,)(()( 0000ttttr???????? )(tr T 6zyx o ???kzRyRx???, sin , cos 2 ???对应点处的切线方程和法平面方程., 2时当???切线方程??R x 法平面方程 xR?0 22???kzkxR ?即????????0 0 2Ry kRzRxk ?即解:由于, sin ?Rx???0 Ry?k kz 2 ???, cos ?Ry??,kz??),,0( 2 0kRM ?对应的切向量为 0)( 2???kzk ?在),0,(kRT??, 故 7 (2)曲线为一般式的情况光滑曲线??????0),,( 0),,(:zyxG zyxF 当0),( ),(????zy GFJ????????)( )(xz xy xx???x yd d 曲线上一点),,( 000zyxM, 且有?x zd d 时, ?可表示为处的切向量为??)(,)(,1 00xxT??????? x???? x??切线方程???? 0 00 001x zzx yyxx?????????法平面方程???????? 0)( 00000????????zzxyyxxx?? 8 例2:求曲线???????35 2: 3xz xy 在点 M(1,2,4)处的切线方程和法平面方程。解: 取x 为参数,则 0)4(5)2(61??????zyx ??????????35 2: 3xz xy xx 1 2)5,6,1( ?? xxT ?)5,6,1(?处在点)4,2,1(M?5 46 21 1?????zyx 切线方程: 法平面方程: 即33 56???zyx 9xx zzx yy???d dd d x 求导, 得1d dd d???x zx y 1d d??x z0d d?x y曲线在点 M (1, – 2, 1) 处有: 切向量得)1,0,1(??T 在点 M ( 1, – 2, 1) 处的切线方程与法平面方程. ?????????0 6 222zyx zyx 代入点 M ( 1, – 2, 1) 1d dd d2????x zx y1d dd d???x zx y 10 切线方程 121?????zyx 即????????02 02y zx 法平面方程 0)1()1()2(0)1(1??????????zyx 即0??zx 点 M (1, – 2, 1) 处的切向量 01?1 )1,0,1(??T