文档介绍：编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 629719701
基本不等式
a＋b
1．基本不等式 ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
b a
(2) ＋ ≥2(a，b 同号)．
a b
a＋b
(3)ab≤ 2 (a，b∈R)．
2
a2＋b2 a＋b
(4) ≥ 2 (a，b∈R)．
2 2
以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
a＋b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个
2
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p.(简记：积定和最小)
p2
(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值 .(简记：和定积最大)
4
【知识拓展】
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立⇔
f(x)min>A(x∈D)；
若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．
(2)能成立问题：若 f(x)在区间 D 上存在最大值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)>A 成
立⇔f(x)max>A(x∈D)；
若 f(x)在区间 D 上存在最小值，则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)<B 成立⇔
f(x)min<B(x∈D)．
(3)恰成立问题：不等式 f(x)>A 恰在区间 D 上成立⇔f(x)>A 的解集为 D；
编制：高中数学 QQ 群 648051755 高等数学 QQ 群 629719701
不等式 f(x)<B 恰在区间 D 上成立⇔f(x)<B 的解集为 D.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1
(1)函数 y＝x＋ 的最小值是 2.( × )
x
4 π
(2)函数 f(x)＝cos x＋ ，x∈(0， )的最小值等于 4.( × )
cos x 2
x y
(3)“x>0 且 y>0”是“ ＋ ≥2”的充要条件．( × )
y x
1
(4)若 a>0，则 a3＋ 的最小值为 2 a.( × )