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专题训练 巧用抛物线的对称性解题
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专题训练 巧用抛物线的对称性解题
► 类型之一 利用对称性求交点
1．如图3－ZT－1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
图3－ZT－1 图3－ZT－2
2．如图3－ZT－2，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2－2ax＋(a＜0)的图像上，A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为________．
3．如图3－ZT－3，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－，且位于点A，B之间(点C不与点A，B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________(用含a的式子表示)．
图3－ZT－3
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4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(－1，4)，抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，求此抛物线的表达式．
► 类型之二 利用对称性求对称轴
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的坐标是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线_______
6．如图3－ZT－4，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过点(－1，0)，(2，0)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是____________．
图3－ZT－4
7．已知抛物线y＝－x2＋(6－)x＋m－3与x轴有两个公共点A，B，且点A，B关于y轴对称．求此抛物线的表达式．
► 类型之三 利用对称性判断函数值的大小
8．已知在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，其函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
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x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图像上，则当1<x1<2，3<x2<4时，y1与y2的大小关系正确的是( )
A．y2<y1 B．y1<y2
C．y2≤y1 D．y1≤y2
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)过A(－2，0)，O(0，0)，C(－3，y1)，D(3，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．不能确定
10．已知二次函数y＝－x2－7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )
A．y1＞y2＞y3 B. y3>y2>y1
C．y2＞y3＞y1 D．y1>y3>y2
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11．如图3－ZT－5，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过原点O与点A(3，0)．
(1)判断b的符号，并求出c的值和该二次函数图像的顶点的横坐标；
(2)若M(m，y1)，N(m＋n，y2)(n＞0)是该二次函数图像上的两点，当y1＝y2时，求m，n之间的数量关系．
图3－ZT－5
► 类型之四 利用对称性求面积
12．如图3－ZT－6，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝
x2－2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
图3－ZT－6 图3－ZT－7
13．二次函数y＝x2的图像如图3－ZT－7所示
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，O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝x2的图像上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为________．
► 类型之五 利用对称性解决线段和最小问题
14．如图3－ZT－8，二次函数的图像经过点D(0， )，且顶点C的横坐标为4，该图像在x轴上截得的线段AB的长为6.
(1)求二次函数的表达式；
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA＋PD最小，求出点P的坐标．
图3－ZT－8
15．2021·枣庄如图3－ZT－9，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；
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(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点