文档介绍：会计学
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除了期望和方差，还可得到各种数字(shùzì)特征:
其中(qízhōng) k 是正整数.
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对于多维随机变量(suí jī biàn liànɡ)，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的
协方差和相关系数
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任意两个随机变量(suí jī biàn liànɡ)X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为
⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X)
一、协方差
(jiǎndān)性质
⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数(chángshù)
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
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Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见(kějiàn)，若X与Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .
3. 计算(jì suàn)协方差的一个简单公式
由协方差的定义(dìngyì)及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}
=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)
=E(XY)-E(X)E(Y)
即
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若X1, X2, …, Xn两两独立(dúlì),，上式化为
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)
4. 随机变量(suí jī biàn liànɡ)和的方差与协方差的关系
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【例3】设(X,Y) 具有(jùyǒu)概率密度
求 Cov(X,Y).
【例4】已知三个随机变量X, Y, Z中, E(X)=E(Y) =1, E(Z)=-1, D(X)=D(Y)=D(Z)=1,
求E(X+Y+Z), D(X+Y+Z).
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协方差的大小在一定程度上反映(fǎnyìng)了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：
Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)
为了克服(kèfú)这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .
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二、相关系数
为随机变量(suí jī biàn liànɡ)X和Y的相关系数 .
定义: 设D(X)>0, D(Y)>0,
称
在不致引起混淆时，记 为 .
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相关系数的性质(xìngzhì)：
证: 由方差(fānɡ chà)的性质和协方差(fānɡ chà)的定义知,
对任意(rènyì)实数b,有
0≤D(Y-bX)= b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y )
令
，则上式为
D(Y- bX)=
由于方差D(Y)是正的,故必有
1- ≥ 0,所以 | |≤1。
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